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Faktorgruppe bilden, Normalteiler

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Tags: Faktorgruppen, Gruppen, Normalteiler

 
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Holomorphie

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19:31 Uhr, 30.11.2013

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Hallo,

ich habe eine Frage zur Bildung von Faktorgruppen. Die mir vorliegende Definition einer Faktorgruppe, wobei G die zugrunde liegende Gruppe, und N ein Normalteiler ist:

G/N={gN∣g∈G}

Nun gibt die englische Wikipedia en.wikipedia.org/wiki/Quotient_group das Beispiel der Restklasse ℤ/2ℤ mit Addition als Faktorgruppe, die dann aus zwei Elementen, nämlich 0 und 1 besteht. Das verstehe ich angesichts obiger Definition einer Faktorgruppe aber nicht. Mit der Definition oben, würde ich folgendes konstruieren:

ℤ/2ℤ={k+2ℤ∣k∈ℤ}, die Menge von Mengen, die man erhält, wenn man zu 2ℤ Elemente aus ℤ hinzuaddiert, also (informell):

{{...,-1+0,0+0,1+0,2+0,...},{...,-1+1,0+1,1+1,...},{...,-1+2,0+2,1+2,...},...}

Ich sehe, dass es für alle gerade Zahlen und für alle ungeraden Zahlen immer die gleichen Mengen gibt und dass, wenn man die kleinsten Elemente, oder "Standardelemente" nimmt, also 0,1, es ausreicht um alle möglichen Mengen zu bekommen, die man auch mit einem beliebigen anderem Paar von Zahlen x,x+1 bekommen würde.

Wieso schreiben die aber in dem Beispiel, dass die Lösung dann eine zweielementige Gruppe mit 0 und 1 ist, und nicht zwei Mengen, einmal die Menge der geraden und einmal die Menge der ungeraden Zahlen?

Und kann mir auch jemand auch bitte ein Beispiel für Nebenklassen, Normalteiler und Faktorgruppen geben anhand einer KONKRETEN Funktion (also bitte nicht nur schreiben, "der Kern einer Funktion ist ein Normalteiler", das finde ich überall)?

Liebe Grüße,
Holo

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)
Online-Nachhilfe in Mathematik
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michaL

michaL aktiv_icon

19:56 Uhr, 30.11.2013

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Hallo,

das Problem lässt sich wie folgt auf die "reale" Welt übertragen: Betrachte eine Familie mit Vater, Mutter und Kind, z.b. Tochter. Irgendwann ist die Tochter alt genug und bekommt ein Kind. Kann sie das, wo sie doch selbst eine Tochter ist?

Übertragen: Kann man die Elemente einer Menge tatsächlich Elemente nennen, selbst wenn diese selbst Mengen sind?

Bevor's allzu philosophisch wird: irgendwie muss man die Relation doch nennen, egal, welcher Natur die Elemente sind.

Mfg Michael
Holomorphie

Holomorphie aktiv_icon

20:48 Uhr, 30.11.2013

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Hallo Michael, danke schonmal für die Antwort. Noch ein paar weitergehende Fragen:

1) Also benutzt man 0,1∈ℤ als Bezeichnung für die zwei verschiedenen Gruppen?
Wie ist der Zusammenhang zur Addition innerhalb in der Restklasse 2, falls es einen Zusammenhang gibt? 1+1=0, wenn ich aber die Mengen, die 1 repräsentiert addiere, kommt nicht die Menge, die 0 repräsentiert raus, das sind also verschiedene Dinge?

2) Zu Funktionen: Angenommen φ:ℝ→ℝ mit φ(x)=ax. Dann wäre ja ker(φ)=0 oder?
Und was wäre dann ℝ/ker(φ)? ℝ selbst, da ∀x∈ℝ:x+0=x, also {0+x∣x∈ℝ}=ℝ?
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