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Faktorieller Ring: Primideal gleich max. Ideal?

Universität / Fachhochschule

Ringe

Tags: Äquivalenz, faktoriell, Ideal, Maximal, Primelement, Ring

 
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dealwithit

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13:06 Uhr, 11.02.2020

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Hallo,

in meiner Algebra Vorlesung habe ich gelernt, dass die Begriffe "prim" und "irreduzibel" in einem faktoriellen Ring äquivalent sind.

Zudem hatten wir folgende Lemmata:

Es sei R ein faktorieller Ring. Dann gilt:
1. p∈R ist genau dann ein Primelement in R, wenn (p) ein Primideal ist.
2. p∈R ist genau dann ein irreduzibles Element in R, wenn (p) ein maximales Ideal ist.

Aus diesen Äquivalenzen müsste man doch schließen können, dass auch die Begriffe "Primideal" und "maximales Ideal" in einem faktoriellen Ring äquivalent seien.

In dem Forum "matheplanet" habe ich aber gelesen, dass (X) ein Beispiel für ein Primideal ist, welches jedoch nicht maximal ist.

Nun herrscht bei mir große Verwirrung und ich hoffe, mich kann jemand aufklären.
Vielen Dank!



Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
Online-Nachhilfe in Mathematik
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ermanus

ermanus aktiv_icon

13:27 Uhr, 11.02.2020

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Hallo,
Sowohl Lemma 1 als auch Lemma 2 sind in dieser Form falsch.

Zu Lemma 1: (0) ist ein Primideal in ℤ; dennoch ist 0
kein Primelement.

Zu Lemma 2: In der Tat ist z.B. X∈ℤ[X] irreduzibel,
(X) aber nicht maximal.

Gruß ermanus
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