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Faltung der geometrischen Verteilung

Universität / Fachhochschule

Zufallsvariablen

Tags: Faltung, Geometrische Verteilung, Zufallsvariablen

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16:30 Uhr, 01.01.2012

Hallo an alle, ich bin neu hier :-)

Mich treibt ein kleines Problemen hierher - wahrscheinlich ist es nur ein kleiner Schritt, der mich zur Lösung hinleitet und mir fehlt. Ich beginne einfach mal mit der Vorstellung des Problems:

Ich habe zwei unabhängige Zufallsvariablen X und Y und es wird X betrachtet als Geo(p) und Y als Geo(q) mit

p \neq q

.

Ich möchte P(X+Y=k) bestimmen und habe hierfür die Faltungsformel verwendet:

P (X + Y = k) = \sum_{k_{1} = 1}^{k - 1} P (X = k_{1}) \cdot P (Y = k - k_{1})

P (X + Y = k) = \sum_{k_{1} = 1}^{k - 1} p (1 - p)^{k_{1}} \cdot q (1 - q)^{k - k_{1} - 1}

P (X + Y = k) = p \cdot q \sum_{k_{1} = 1}^{k - 1} (1 - p)^{k_{1}} \cdot (1 - q)^{k - k_{1} - 1}

Die Lösung kenne ich bereits. Sie lautet:

P (X + Y = k) = \frac{p \cdot q}{p - q} \cdot ((1 - q)^{k - 1} - (1 - p)^{k - 1})

Kann mir bitte jemand die Zwischenschritte dahin erklären oder mir zumindest ne Idee geben wie ich dorthin komme?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich benötige bitte nur das Ergebnis und keinen längeren Lösungsweg."

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20:21 Uhr, 01.01.2012

Kann mir keiner helfen? Oder mir zumindest sagen, ob das, was ich bisher gerechnet habe richtig ist?

Mauthagoras aktiv_icon

23:51 Uhr, 01.01.2012

Hallo,

ich hätte einen Vorschlag, wie es aussehen könnte und mein Ergebnis ist auch wirklich eine Dichte, kann also nicht völlig falsch sein, allerdings ist es ein bisschen anders als bei Dir.

Also zunächst ist die geometrische Reihe ja ab 0 definiert, sodass die Summe bei 0 losgeht. Dann ist der Fall

X = k \land Y = 0

auch zu berücksichtigen, sodass die Summe bis

k

läuft. Dann erhält man mithilfe der geometrischen Reihe:

\begin{array}{rcl} ℙ (X + Y = k) & = & \sum_{i = 0}^{k} p q (1 - p)^{i} (1 - q)^{k - i} \\ = & p q (1 - q)^{k} \sum_{i = 0}^{k} {(\frac{1 - p}{1 - q})}^{i} \\ = & p q (1 - q)^{k} \frac{1 - {(\frac{1 - p}{1 - q})}^{k + 1}}{1 - (\frac{1 - p}{1 - q})} \\ = & p q (1 - q)^{k} \frac{1 - {(\frac{1 - p}{1 - q})}^{k + 1}}{\frac{p - q}{1 - q}} \\ = & \frac{p q}{p - q} (1 - q)^{k + 1} (1 - {(\frac{1 - p}{1 - q})}^{k + 1}) \\ = & \frac{p q}{p - q} ((1 - q)^{k + 1} - (1 - p)^{k + 1}) \end{array} & .

(Sorry, ich weiß nicht, woher dieses "&." kommt.)

Meinst Du, das ist in Ordnung?

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19:44 Uhr, 02.01.2012

Hey,

na das sieht doch schonmal nach was aus :-)

könnte man denn die Summe einschränken auf i=2 bis k-2? Oder darf man das nicht, weil die geometrische Reihe von 0 bis k definiert ist? Mit k-2 käme man ja nämlich hin ...

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20:26 Uhr, 02.01.2012

Ich glaube ehrlich gesagt nicht, dass das geht: Die Faltungsformel sorgt dafür, dass wir eine vollständige Fallunterscheidung machen, auf welche Arten man zu

X + Y = k

kommt. Sobald man die Grenzen einschränkt, ignoriert man gewisse Fälle.

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20:34 Uhr, 02.01.2012

Ja das ist schon richtig, aber ich muss definitiv die Formel mit ^k-1 nachweisen für welche k die gelten soll ist in der Aufgabe zunächst nicht vorgegeben.

Im zweiten Teil der Aufgabe gibt es jedoch ein Fallbeispiel, welches eben genau für k=2,3,4, ... gilt. Dort hat man eine Urne mit Kugeln und kann mit der Formel zum Beispiel die Wahrscheinlichkeit bestimmen, dass jede Kugel einer Farbe mindestens einmal gezogen wurde (mit Zurücklegen, X+Y=Z=Anzahl der Züge) ...

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20:42 Uhr, 02.01.2012

Ja, in der Anwendung kann es sein, dass bestimmte

k

nicht sinnvoll sind, aber die Aufgabe ist ja so gestellt, dass

k

eine beliebige, aber feste natürliche Zahl oder 0 ist. Ich habe eben auch nochmal den Computer rechnen lassen: Wenn die Lösung stimmen soll, muss sie ja eine Zähldichte sein, das heißt Summation über

ℕ_{0}

muss 1 ergeben; das tut es aber im Allgemeinen nicht. Bei meiner Lösung hingegen schon...

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20:50 Uhr, 02.01.2012

Also meinst du wir lassen den Beweis so wie du und am Ende bleibt ^k+1. Aber wie komme ich dann auf die ^k-1? hmm ...

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20:53 Uhr, 02.01.2012

Ja, ich bin auch irgendwie unzufrieden und frage mich, woran das liegt, aber leider weiß ich nicht wirklich weiter - nach meinem Verständnis wäre es nicht richtig, wenn wir irgendwas so anpassen, dass es dann hinkommt; ich sehe kein Schlupfloch...

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21:09 Uhr, 02.01.2012

Bestimmt hat das auch was damit zutun wie man zuvor die geometrische Verteilung definiert hat: de.wikipedia.org/wiki/Geometrische_Verteilung
Wir hatten in der Vorlesung nämlich Variante A und du bist von B ausgegangen.

Mauthagoras aktiv_icon

21:16 Uhr, 02.01.2012

Stimmt, das ist gut - ich versuch's nachher noch mal, in ca. einer Stunde gebe ich Bescheid.

Mauthagoras aktiv_icon

22:25 Uhr, 02.01.2012

So geht es tatsächlich:

\begin{array}{rcl} ℙ (X + Y = k) & = & \sum_{i = 1}^{k - 1} p q (1 - p)^{i - 1} (1 - q)^{k - i - 1} \\ = & p q (1 - p)^{- 1} (1 - q)^{k - 1} \sum_{i = 1}^{k - 1} {(\frac{1 - p}{1 - q})}^{i} \\ = & p q (1 - p)^{- 1} (1 - q)^{k - 1} \frac{1 - p}{1 - q} \sum_{i = 0}^{k - 2} {(\frac{1 - p}{1 - q})}^{i} \\ = & p q (1 - q)^{k - 2} \frac{1 - {(\frac{1 - p}{1 - q})}^{k - 1}}{\frac{p - q}{1 - q}} \\ = & \frac{p q}{p - q} (1 - q)^{k - 1} (1 - {(\frac{1 - p}{1 - q})}^{k - 1}) \\ = & \frac{p q}{p - q} ((1 - q)^{k - 1} - (1 - p)^{k - 1}) . \end{array}

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22:35 Uhr, 02.01.2012

*froi* danke, du hast mir echt weitergeholfen :-)

Werde mich demnächst glaub ich öfter mal hier blicken lassen. Das ist ne konstruktive Veranstaltung hier ...

Den Thread können wir ja nun schließen, gute Nacht!

Mauthagoras aktiv_icon

22:35 Uhr, 02.01.2012

Auch wenn es eine schwere Geburt war...

Dir auch eine gute Nacht.

Stuppi aktiv_icon

22:37 Uhr, 02.01.2012

"Schwere Geburt" - ja das trifft's wohl^^

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