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Faltung diskreter und stetiger Zufallsvariablen

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Zufallsvariablen

Tags: Faltung, test, Textaufgabe, Zufallsvariablen

paulvwahlert aktiv_icon

17:42 Uhr, 17.11.2015

Auf seinem Arbeitsweg trifft Kevin mit einer Wahrscheinlichkeit

0 < p < 1

seinen Nachbarn, Peter, der ihn in ein Gespräch verwickelt. Nach genau

x_{0}

Minuten bricht Kevin das Gespräch ab und geht weiter zur Straßenbahn. Dort angekommen, wartet er auf die nächste Bahn, die pünktlich alle

y_{0}

Minuten fährt. Kevin beachtet nicht den Fahrplan, geht zufällig aus dem Haus, daher ist seine Wartezeit

Y

auf die nächste Bahn eine Zufallsvariable mit stetiger Gleichverteilung SG(0,

y_{0})

. Unf fir Zeitverzögerung

X

durch das Gespräch mit Peter ebenfalls eine Zufallsvariable. Uns interessiert nun die gesamte Zeitverzögerung

Z = X + Y

von Kevin auf seinem Weg zur Arbeit.

(a)

Bestimme die Verteilungsfunktion

F_{z}

und Dichte

f_{z}

von

Z

für den Spezialfall

x_{0} = y_{0} = 5

. Welche bekannte Verteilung ergibt sich für

p = \frac{1}{2}

(b)

Bestimme die Verteilungsfunktion

F_{z}

und Dichte

f_{z}

auch für beliebige

x_{0} \geq y_{0}

.

Wir haben dne Hinweis bekommen, dass es sich um die Summe von zwei stochastisch unabhängigen Zufallsvariablen

P (X + Y = < z)

handelt, allerdings können wir auf diesen nicht den bekannten Satz aus der Vorlesung anwenden

(P {X + Y = z} = \sum_{x \in T_{x}} P {X = x} \cdot P {Y = z - x}),

da es sich um eine diskrete Verteilung von

X

und eine stetige Verteilung von

Y

handelt. Kann mir wer weiterhelfen? Ich stehe ganz schön auf dem Schlauch.

Lieben Gruß

P.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

DrBoogie aktiv_icon

11:15 Uhr, 18.11.2015

Hier ist die Situation einfacher, so dass man keine Faltung braucht.

X

hat nämlich nur zwei Werte,

x_{0}

(Verzögerung, weil Nachbar getrofffen) und

0

(keine Verzögerung, weil Nachbar nicht getrofffen), mit den W-keiten

p

und

1 - p

.
Daher kann man einfach die Formel von der totalen W-keit nutzen:

P (X + Y \leq z) = P (X + Y \leq z ∣ X = x_{0}) p + P (X + Y \leq z ∣ X = 0) (1 - p) = P (Y \leq z - x_{0}) p + P (Y \leq z) (1 - p)

paulvwahlert aktiv_icon

15:55 Uhr, 25.11.2015

Super Danke!

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