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Faltung von Dichten Y-X

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Zufallsvariablen

Tags: Dichtefunktion, Erwartungswert, Faltung, test, Verteilungsfunktion, Wahrscheinlichkeitsmaß, Zufallsvariablen

Hinata aktiv_icon

10:32 Uhr, 01.03.2022

Hallo,
ich tue mich schwer damit die Faltungsformel für gleichverteilte Dichten zu verstehen. Genauer gesagt, ich verstehe das Prinzip, allerdings fällt es mir danach schwer das Integral mit der Indikatorfunktion zu lösen.
ich habe im Anhang Die Lösung einer Aufgabe hinzugefügt und meine Rechnung, bis wohin ich die Musterlösung nachvollziehen kann. Die Aufgabe lautete:
Seien

X

und

Y

unabhängige ZV und gleichverteilt auf

[- 1,1]

. Berechnen Sie die Dichte von

X - Z

.
Mir ist klar, dass das die Gleiche Dichte wie von

X + Y

ist. Und mir ist auch klar, wie und warum ich erstmal die Faltungsformel benutze.

Danach komme ich allerdings nicht weiter, also ab der Fallunterscheidung. Dazu muss ich sagen, dass ich bereits mehrere Videos zu dem Beweis der Faltungsformel geschaut habe, aber meist nicht ganz folgen konnte, da ich den Kurs Maß- und Integrationstheorie noch nicht belegt und

z . B

. noch nicht mir Doppelintegralen gerechnet habe.
Vielleicht kann mir jemand das Lösen des Integrals mit der Indikatorfunktion trotzdem erklären?
DANKE!!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

HAL9000

11:30 Uhr, 01.03.2022

Wenn du

X - Z

schreibst, dann meinst du vermutlich

X - Y

. Über deinen zweiten Scan rede ich zunächst mal nicht, da sind mir zu viele Fehler drin (

F_{X - Y}

statt

f_{X - Y}

, weggelassene Funktionsargumente der Indikatorfunktionen, ...)

Im ersten Scan ist vermutlich die erste größere Verständnishürde die Gleichheit

1_{[- 1, 1]} (t - s) = 1_{[t - 1, t + 1]} (s)

, oder? Die basiert auf einer äquivalenten (Doppel-)Ungleichungsumformung:

1_{[- 1, 1]} (t - s) = 1 \Leftrightarrow - 1 \leq t - s \leq 1 \Leftrightarrow - 1 \leq s - t \leq 1 \Leftrightarrow t - 1 \leq s \leq t + 1 \Leftrightarrow 1_{[t - 1, t + 1]} (s) = 1

Weiterhin wird genutzt

1_{A} (s) \cdot 1_{B} (s) = 1_{A \cap B} (s)

, aber das ist dir wohl klar.

Bleibt übrig, die Länge des Intervalldurchschnitts

[- 1, 1] \cap [t - 1, t + 1]

zu bestimmen, und dabei ist eine Intervallunterscheidung unumgänglich:

1.Fall: Gilt

t + 1 \leq - 1

(umgestellt

t \leq - 2

), dann liegt die RECHTE Intervallgrenze von

[t - 1, t + 1]

vor der LINKEN Intervallgrenze von

[- 1, 1]

(bzw. berührt sie allenfalls). Damit ist der Intervalldurchschnitt leer (bzw. besteht nur aus einem Punkt), die Länge dieses Durchschnitts ist demnach Null.

Ähnlich sieht es im Fall

t - 1 \geq 1

(umgestellt

t \geq 2

) aus: Hier liegt die LINKE Intervallgrenze von

[t - 1, t + 1]

nach der RECHTEN Intervallgrenze von

[- 1, 1]

(bzw. berührt sie allenfalls), Auch hier haben wir Länge 0 des Intervalldurchschnitts.

2.Fall: Für

- 2 < t \leq 0

haben wir

[- 1, 1] \cap [t - 1, t + 1] = [- 1, t + 1]

, mal dir das ruhig mal auf, falls es dir gedanklich schwer fällt, das nachzuvollziehen. Und es ist

∣ [- 1, t + 1] ∣ = t + 1 - (- 1) = 2 + t

3.Fall: Für

0 \leq t < 2

haben wir

[- 1, 1] \cap [t - 1, t + 1] = [t - 1, 1]

mit Intervalllänge

∣ [t - 1, 1] ∣ = 1 - (t - 1) = 2 - t

pwmeyer aktiv_icon

11:44 Uhr, 01.03.2022

Achtung: HAL war schneller, also vielleicht nur noch zur Ergänzung mit anderen Worten:

Hallo,

die Faltung hat viele Anwendungen, die auch auf mehrdimensionaler Integration beruhen. Hier aber haben wir es mit einem einfachen eindimensionalen Integral zu tun.

Jetzt gilt ja grundsätzlich:

\int_{- \infty}^{\infty} 1_{[a, b]} (u) d u = b - a

Zu berechnen ist - soweit hast Du ja alles verstanden (ich spare mir den Vorfaktor

\frac{1}{4})

\int_{- \infty}^{\infty} 1_{[- 1,1]} (u) \cdot 1_{[- 1,1]} (t - u) d u

Um dieses Integral zu berechnen identifizieren wir den Integranden

1_{[- 1,1]} (u) \cdot 1_{[- 1,1]} (t - u)

als charakteristische Funktion

1_{[a, b]} (u),

wobei allerdings das Intervall

[a, b]

von

t

abhängt. Dazu beachten wir, dass ein Produkt immer schon 0 ist, wenn einer der Faktoren 0 ist. Umgekehrt:

1_{[- 1,1]} (u) \cdot 1_{[- 1,1]} (t - u) = 1 \Leftrightarrow - 1 \leq u \leq 1

UND

- 1 \leq t - u \leq 1

\Leftrightarrow - 1 \leq u \leq 1

UND

t - 1 \leq u \leq t + 1 (⋆)

Jetzt empfehle ich Dir, die ein paar Skizzen zu machen: Zeichne einen Zahlenstrahl als "u-Achse" darin das Intervall

[- 1,1]

und dann für verschiedene

t

das Intervall

[t - 1, t + 1]

. Du siehst, dass die Bedingung

(⋆)

entweder auf die leere Menge hinaus läuft oder ein Intervall liefert. Zum Beispiel für

t = - 1

- 1 \leq u \leq 1

UND

t - 1 \leq u \leq t + 1 \Leftrightarrow - 1 \leq u \leq 1

UND

- 1 - 1 \leq u \leq - 1 + 1 \Leftrightarrow - 1 \leq u \leq 0

Das Integral liefert also die Länge von

[- 1,0],

also 1.

Diese Überlegung muss dann für beliebiges

t

formuliert werden

...

.

In der Musterlösung ist diese Überlegung formal etwas anders über das Hantieren mit charakteristischen Funktionen durchgeführt worden.

Gruß pwm

Hinata aktiv_icon

13:14 Uhr, 01.03.2022

Vielen Dank euch beiden. Ich habe mir nun Skizzen zu dem Intervall gemacht und soweit verstehe ich das, bis auf eine Sache. mir ist klar, dass

- 2 \leq t \leq 2

sein muss, da sonst der Durchschnitt des Intervalls 0 ist. Nur noch nicht ganz klar ist, wie genau man noch mal auf die Unterteilung in

t

aus

[- 2,0]

und

t

aus

[0,2]

kommt. Ist es weil

- 1 \leq t - 1 \Rightarrow 0 \leq t

und

t + 1 \leq 1 \Rightarrow t \leq 0

HAL9000

15:11 Uhr, 01.03.2022

Ich versuche es mal so: Als Basisintervall betrachten wir

[- 1, 1]

auf der reellen Achse.

Jetzt betrachten wir mal die Lage des zweiten Intervalls

[t - 1, t + 1]

"dynamisch", d.h. verschieben es auf der Achse variabel hin und her, was durch den Parameter

t

ja bestimmt ist.

a) Für

t = 0

entspricht das variable Intervall

[t - 1, t + 1]

exakt diesem Intervall

[- 1, 1]

.

b) Für

t > 0

verschiebt man dieses variable Intervall nach rechts, d.h. dessen linker Randpunkt

t - 1

ist dann der linke Randpunkt des Schnittintervalls, während der rechte Randpunkt des Schnittintervalls die 1 des Basisintervalls ist.

c) Für

t < 0

verschiebt man dieses variable Intervall nach links, d.h. der rechte Randpunkt

t + 1

ist dann der rechte Randpunkt des Schnittintervalls, während der linke Randpunkt des Schnittintervalls die -1 des Basisintervalls ist.

D.h., genau bei

t = 0

ändert sich also die "Herkunft" der Randpunkte des Schnittintervalls, d.h., ob sie vom Basisintervall oder vom variablen Intervall her stammen.

P.S.: Bei der Faltung verschieden langer Gleichverteilungen, etwa [-1,1] und [-2,2] wird es noch komplizierter, da hat man statt 2 "Nichtnull"-Fällen für die Dichte dann sogar deren 3.

Hinata aktiv_icon

16:40 Uhr, 01.03.2022

Verstehe, super erklärt. Danke!

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