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Faltung von rect(t) mit sich selbst

Universität / Fachhochschule

Tags: Faltung, Rechteckfunktion

Fugu_Fish aktiv_icon

18:21 Uhr, 24.06.2013

Moin,

folgende Aufgabe:

Berechnen Sie

(r e c t * r e c t) (t)

Leider hat mein Prof. die Faltung nur eben kurz überflogen, aber es ist trotzdem Klausurrelevant.

Habe das ganze schonmal ein bisschen gegoogelt und kann mir jetzt auch grafisch vorstellen, dass wenn ich 2 Rechtecke aneinander vorbeischiebe, der Flächeninhalt linear ansteigt bis sie sich vollständig überlappen und danach wieder linear abnimmt.
Das Ergebnis ist also eine Dreiecks-Funktion.

Nur bei der Rechnung hapert es jetzt:

(r e c t) * r e c t) (t) = \int_{- \infty}^{\infty} r e c t (τ) \cdot r e c t (t - τ) \cdot d τ

= \int_{- 0.5}^{0.5} r e c t (τ) \cdot r e c t (t - τ) \cdot d τ = \int_{- 0.5}^{0.5} r e c t (t - τ) \cdot d τ

Meine Gedanken bis jetzt:

- Die rect-Funktion ist außerhalb von

- 0.5

und

0.5

0

und deswegen ist auch der Flächeninhalt des Produkts 0, sodass ich die Grenzen anpassen kann

- innerhalb von

- 0.5

und

0.5

ist die rect-Funktion

1

, sodass sie aus der Rechnung rausfällt

Soweit alles richtig gedacht?
Und wenn ja wie geht es weiter?

Danke schonmal im Voraus

Gruß

Fugu

pwmeyer aktiv_icon

19:39 Uhr, 24.06.2013

Hallo,

ich würde jetzt nocht

t - τ = s

substituieren, dann hast Du:

\int_{t - 0.5}^{t + 0.5}

rect(

s)

ds

Dann machst Du eine Fallunterscheidung:

Für

t \leq - 1

ist die obere Grenze

t + 0.5

kleiner als

- 0.5,

also gibt das Integral 0

Für

t \in [- 1,0]

ist die untere Grenze kleiner als

- 0.5,

also wird das Integral:

\int_{- 0.5}^{t + 0.5} 1

= t + 1

und dann kommen die Fälle

t \in [0,1]

und

t > 1

Gruß pwm

Fugu_Fish aktiv_icon

19:54 Uhr, 24.06.2013

Edit: Sorry dummer Fehler im Post...

Fugu_Fish aktiv_icon

20:15 Uhr, 24.06.2013

Super, alles verstanden. Dank dir ;-)

anonymous

18:47 Uhr, 06.10.2014

@pwmeyer: Wieso betrachtest du

t \leq - 1,

warum nicht

z . B

t \leq - 4

Fugu_Fish aktiv_icon

19:00 Uhr, 06.10.2014

Ganz einfach:

für alle

t \leq - 1

ist das Integral sowieso

0

.
Zur Not zeichne dir doch mal die rect-Funktion und die um 1 verschobene rect-Funktion auf.
Faltung ist dann ja nicht mehr als die überlappende Fläche.
Für

t \geq 1

verhält sich das natürlich genauso.

Das Ergebnis der Faltung ist eben eine Dreiecks-Funktion die vor

- 1

und nach

1

= 0

ist.
Eine grafische Darstellung dazu findest du übringens wenn du auf Wikipedia nach Faltung suchst.

Hoffe das hilft.

Gruß,

Fugu

Fugu_Fish aktiv_icon

19:00 Uhr, 06.10.2014

Sorry, Doppelpost ...

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