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Faltung von zwei Rechtecksignalen

Universität / Fachhochschule

Funktionalanalysis

Tags: Funktionalanalysis

fern-student aktiv_icon

10:37 Uhr, 27.03.2019

Hallo zusammen,

Ich habe ein Problem mit der Aufgabe Faltung von zwei Rechtecksignalen.

Gegeben sind:
x1(t)=rect(t/4) und x2(t)=rect(t/2)

Die Lösung ist ebenfalls angegeben, mit:

y (t) = \frac{1}{8} ρ (t + 3) - \frac{1}{8} ρ (t + 1) - \frac{1}{8} ρ (t - 1) + \frac{1}{8} ρ (t - 3)

Ich habe beide Signal vorerst gezeichnet und das Signal

x 2

an der x-Achse gespiegelt.
dabei komm ich auf folgende Integrationsgrenzen:

\int_{- 2}^{t + 1} 1 \cdot 1 d x

(beim reinschieben von

x 2)

\int_{t - 1}^{0} 1 \cdot 1 d x

(Überlappung im negativen Zeitbereich)
(hier müsste die untere Grenzen

t + 1

sein um auf das richtige Ergebnis zu kommen)

\int_{0}^{t + 1} 1 \cdot 1 d x

(Überlappung im positiven Zeitbereich)
(hier müssten die obere Grenzen 0 und die untere Grenze

t - 1

sein um auf das richtige Ergebnis zu kommen)

\int_{t - 1}^{2} 1 \cdot 1 d x

(beim herausschieben von

x 2)

Außerdem komm ich nicht auf den Anstieg von

\frac{1}{8}

.
Beim Multiplizieren von

\frac{1}{4}

und

\frac{1}{2}

vom Zeitbereich der Signale würde ich auf

\frac{1}{8}

kommen. Leider sehe ich hier den zusammenhang nicht.

Auch habe ich schon versucht, das ganze mit der Faltungsformel zu lösen und hier die Integrationsgrenzen einzusetzen:

\int x 1 (τ) \cdot x 2 (t - τ) d τ

Ich hab auch schon nach ähnlichen Beispielen gesucht. Leider bin ich hier nur fündig geworden bei Faltung im positiven Zeitbereich oder mit Faltung von zwei gleichen Signalen

z . B

. rect(t).

Ich hoffe Ihr könnt mir weiterhelfen. Vielen Dank im voraus.

Mit freundlichen Grüßen

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

pwmeyer aktiv_icon

12:20 Uhr, 27.03.2019

Hallo,

wie (genau) ist rect und

ρ

definiert?

Gruß pwm

fern-student aktiv_icon

13:41 Uhr, 27.03.2019

x1=rect(t/4):

0 für t<-2
1 für -2 <= t <= 2
0 für t>2

x1=rect(t/2):

0 für t<-1
1 für -1 <= t <= 1
0 für t>1

rho ist eine Rampenfunktion

Ich hab das ganze in dem beigefügten Bild grafisch dargestellt.

HAL9000

13:47 Uhr, 27.03.2019

> Ich hab das ganze in dem beigefügten Bild grafisch dargestellt.

Welches dann irgendwann noch nachgereicht wird?

fern-student aktiv_icon

13:50 Uhr, 27.03.2019

Ich hab das Bild unter "3. Bild hinzufügen" hinzugefügt. Leider fügt er es nach mehreren Versuchen denoch nicht hinzu.

fern-student aktiv_icon

14:08 Uhr, 27.03.2019

Da das hinzufügen von Bildern bei mir leider nicht funtkioniert,
hab ich es hier hochgeladen:
www.bilder-upload.eu/bild-0a7521-1553691960.jpg.html

pwmeyer aktiv_icon

18:05 Uhr, 27.03.2019

Hallo,

dann komme ich nicht auf das angegebene Resultat. Die Faltung ist

F (s) = \int_{ℝ} x_{1} (t) \cdot x_{2} (s - t) d t = \int_{- 2}^{2} x_{2} (s - t) d t

Nun ist

x_{s} (s - t) = 1

genau dann wenn

s - 1 \leq t \leq s + 1

.

Wenn also

s \leq - 3

dann ist

F (s) = 0

Wenn

s \in [- 3, - 1]

dann ist

s - 1 \leq - 2

und

- 2 \leq s + 1 < 2

also

F (s) = \int_{- 2}^{s + 1} 1 \cdot d t = s + 3

...

.

Ich komme also auch nicht auf den Faktor 1/8??

Gruß pwm

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