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Fehler Differenzenquotient

Universität / Fachhochschule

Sonstiges

Tags: Numerik, numerische Differentiation, relativer Fehler, Sonstig, Verstärkungsfaktor

Bruno Math

11:26 Uhr, 20.04.2021

Hallo an alle, ich komme bei einer Aufgabe zur numerischen Differentiation über den Differenzenquotienten nicht weiter.
Wir sollen den relativen Fehler des Differenzenquotienten

g (x) = \frac{f (x + h) - f (x)}{h}

einer reellen Funktion

f

abschätzen, indem wir erstmal

f (x + h)

durch die Taylorentwicklung und das Lagrange-Restglied abschätzen. Das habe ich so gemacht:

f (x + h) = f (x) + f ´ (x) \cdot h + f ´ ´ (x) \cdot \frac{h^{2}}{2}

, wobei uns explizit gesagt wurde, dass wir der Einfachheit halber

ξ

im Restglied durch

x

approximieren dürfen.
Damit erhalte ich dann

g (x) = f ´ (x) + f ´ ´ (x) \cdot \frac{h}{2}

mit dem Diskretisierungsfehler

f ´ ´ (x) \cdot \frac{h}{2}

.
Als nächstes sollen wir dann annehmen, dass der Rechner

f

mit einer relativen Genauigkeit

e p s

ausrechnet und mit den Verstärkungsfaktoren den relativen Fehler

\frac{∣ g (x) - f ´ (x) ∣}{∣ f ´ (x) ∣}

berechnen. Wie genau bringe ich denn hier

e p s

und den Verstärkungsfaktor, den wir mit

M = \frac{∣ x ∣ \cdot ∣ f ´ (x) ∣}{∣ f (x) ∣}

definiert haben, ein? Wovon berechne ich überhaupt den Verstärkungsfaktor?
Ohne

e p s

und Verstärkungsfaktoren komme ich auf einen relativen Fehler

\frac{∣ f ´ ´ (x) \cdot h ∣}{∣ f ´ (x) \cdot 2 ∣}

.
Mit dem Mittelwertsatz soll dann der numerische Fehler abgeschätzt werden:

f (x + h) - f (x) = f ` (x) \cdot h

, wobei auch hier

ξ

durch

x

approximieren werden darf.
Im Endeffekt soll dann ein

h

bestimmt werden, sodass beide Fehler die gleiche Größungsordnung haben. Setze ich die Fehler aber gleich, so kann man das

h

durch Division durch

h

entfernen... In der Aufgabe davor habe ich gesehen, dass

h = 1 0^{- 8}

gut ist.
Könnt ihr mir beim relativen Fehler weiterhelfen und erklären wie ich dann die Fehler vergleichen soll?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Differenzenquotient (Mathematischer Grundbegriff)

pwmeyer aktiv_icon

12:08 Uhr, 21.04.2021

Hallo,

wahrscheinlich habt Ihr in Vorl /Übung Techniken besprochen, wie Ihr so etwas abwickelt. Also ich würde es so machen: Ich gehe zur Vereinfachung davon aus, dass

x, x + h

und die Division von

h

fehlerfrei berechnet werden und Fehler nur durch die Auswertung von

f

entstehen, also statt

f (x)

wird mit

(1 + e_{1}) \cdot f (x)

weitergerechnet, wobei

| e_{1} | \leq

eps

. .

.

Dann ist der Fehler:

| \frac{(1 + e_{2}) \cdot f (x + h) - (1 + e_{1}) \cdot f (x)}{h} - f' (x) |

= | \frac{f (x + h) - f (x)}{h} - f' (x) + \frac{e_{2} \cdot f (x + h)}{h} - \frac{e_{1} \cdot f (x)}{h} |

Damit der relative Fehler:

| \frac{f'' (x) h}{2 \cdot f' (x)} + \frac{e_{2} \cdot f (x + h)}{h \cdot f' (x)} - \frac{e_{1} \cdot f (x)}{h \cdot f' (x)} |

Vielleicht ist das jetzt nicht genau das, was erwartet wird. Aber das wesentliche Problem wird sichtbar: Man will

h

möglichst klein machen, um den Formelfehler

(g (x)

statt

f' (x))

klein zu machen, aber das vergrößert den Rundungsfehler-Einfluss. Insofern ist ein optimales

h

gefragt.

Gruß pwm

Bruno Math

13:07 Uhr, 21.04.2021

Vielen Dank schonmal für deine Antwort. Welcher Teil ist denn genau der Rundungsfehler?

\frac{e_{2} \cdot f (x + h)}{h \cdot f ʹ (x)} - \frac{e_{1} \cdot f (x)}{h \cdot f ʹ (x)}

? Im Internet habe ich gefunden, dass er durch

\frac{2 f (x) ε}{h}

beschrieben werden kann...

pwmeyer aktiv_icon

17:53 Uhr, 21.04.2021

Hallo,

ja, das ist der

r e l a t i v e

Rundungsfehler. Weil es nur auf das wesentliche Verhalten ankommt, kann man den auch zusammenfassend schätzen

...

.

Gruß pwm

pwmeyer aktiv_icon

17:53 Uhr, 21.04.2021

Hallo,

ja, das ist der

r e l a t i v e

Rundungsfehler. Weil es nur auf das wesentliche Verhalten ankommt, kann man den auch zusammenfassend schätzen

...

.

Gruß pwm

Bruno Math

19:26 Uhr, 21.04.2021

Hallo,

aber wie genau komme ich denn von dem relativen Rundungsfehler dann auf

\frac{2 f (x) ε}{h} ?

pwmeyer aktiv_icon

11:28 Uhr, 22.04.2021

Das ist doch der absolute Fehler

Bruno Math

14:15 Uhr, 22.04.2021

Alles klar, da bin ich wohl etwas mit den verschiedenen Fehlern durcheinander gekommen... Vielen lieben Dank auf jeden Fall für deine Antworten!

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