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Fehlerfortpflanzung Gauß

Schüler

Tags: Fehlerrechnung

gonnabeph aktiv_icon

21:17 Uhr, 23.10.2014

Hallo, ich bin gerade dabei die Fehlerfortpflanzung zu verstehen und habe mir dazu selber eine kleine Aufgabe gestellt.

m = (3 \pm 0, 2) k g

und

v = (5 \pm 0, 1) \frac{m}{s}

sind gemessen worden. Nun soll die kinetische Energie per Fehlerfortpflanzung berechnet werden. Also

K = \frac{1}{2} m v^{2}

. Da K von m und v abhängig ist müssen die partiellen Ableitungen gebildet werden.

\frac{\partial E}{\partial m} = \frac{1}{2} v^{2}

\frac{\partial E}{\partial v} = m v

Nun lautet die Gaußsche Fehlerfortpflanzung:

σ_{E} = \sqrt{(\frac{\partial E}{\partial m} \cdot σ_{m})^{2} + (\frac{\partial E}{\partial v} \cdot σ_{v})^{2}}

Ich erhalte dann:

σ_{E} = \frac{\sqrt{34}}{2} J \approx 2, 92 J

Damit müsste der Fehler der kinetischen Energie lauten:

K = (37, 5 \pm 2, 92) J

Ist das soweit korrekt?
Das müsste nun die absolute Genauigkeit sein oder?
Ich muss jetzt noch die relative Genauigkeit angeben. Wie macht man das denn?

Schonmal danke! :-)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

pleindespoir aktiv_icon

21:57 Uhr, 23.10.2014

relativ = absolut/Bezugswert

gonnabeph aktiv_icon

22:07 Uhr, 23.10.2014

Also einfach

E_{r e l .} = \frac{2, 92}{37, 5} = 0, 078

so richtig? Berechnet man den relativen Fehler immer so? Ich habe nämlich schon Rechnungen gesehen da wurde bei der Gaußschen Fehlerfortpflanzung irgendwie geteilt?!...

Also ist der absolute Fehler durch die Gaußsche Fehlerfortpflanzung berechnet worden?
Was sagt mir denn der relative Fehler?

Besten Dank!

pleindespoir aktiv_icon

22:51 Uhr, 23.10.2014

http//www.chemgapedia.de/vsengine/vlu/vsc/de/ma/1/mc/ma_06/ma_06_03/ma_06_03_01.vlu.html

kann ich zu diesem Thema empfehlen

gonnabeph aktiv_icon

23:00 Uhr, 23.10.2014

Cool, danke für den Link. Da werde ich mich mal am Wochenende hinter fuxen. Noch eine Frage, wo besteht denn da der Unterschied zwischen der Gaußschen Fehlerfortpflanzung und der Bestimmung des Fehlers über das totale Differential?
Sind das beides äquivalente Verfahren?

Dankesehr!

pleindespoir aktiv_icon

23:28 Uhr, 23.10.2014

Es gibt einen Unterschied, wie man die Fehler addiert:

Δ f (x_{0}, y_{0}, z_{0}) =^{2} \sqrt{(\frac{\partial f}{\partial x} \cdot δ x)^{2} + (\frac{\partial f}{\partial y} \cdot δ y)^{2} + (\frac{\partial f}{\partial z} \cdot δ z)^{2}}

hier wir "geometrisch" addiert oder nach Gauss

wenn man anstelle des Exponenten 2 eine beliebig unendlich grosse gerade Vektornorm wählt, entspricht das letzendlich dieser Addition:

Δ f (x_{0}, y_{0}, z_{0}) = ∣ \frac{\partial f}{\partial x} \cdot δ x ∣ + ∣ \frac{\partial f}{\partial y} \cdot δ y ∣ + ∣ \frac{\partial f}{\partial z} \cdot δ z ∣

und das nennt man auch lineare Fehlerfortpflanzung.

Das totale Differential braucht man in beiden Fällen.

ledum aktiv_icon

02:08 Uhr, 24.10.2014

Hallo
meist gibt man den relativen Fehler in

% a

also nit

0,07

sonder

7 %,

dann kann man Fehler besser vergleichen.
wenn du einen Weg auf

1 m

genau misst und die Zeit auf

0.1 s

genau sagt das nichts darüber , wie genau du die Geschwindigkeit bestimmen kannst. (der weg könnte

1000 m

oder

10 m

sein. die zeit

100 s

oder 5
wenn du dagegen wieisst dass der Weg auf

1 %

genau, die Zeit auf

2 %

genau gemessen sind, dann hast du direkt die geschw auf

3 %

genau.
Also ist oft der relative Fehler die interessantere Angabe.
Gruß ledum

gonnabeph aktiv_icon

09:04 Uhr, 24.10.2014

Hallo ledum, also bedeutet dass das die kinetische Energie auf 7 Prozent genau gemessen ist? Das wäre ja nicht gerade gut ^^

Noch eine weitere Frage: Ich habe mich nun weiter schlau gemacht und habe die Abschätzung zur Gaußschen Fehlerfortpflanzung gefunden.
Die Ungleichung dazu lautet

\sqrt{a^{2} + b^{2}} \leq ∣ a ∣ + ∣ b ∣

Ich erhalte dann:

\sqrt{(\frac{(\partial f}{\partial x} σ x)^{2} + (\frac{\partial f}{\partial y} σ_{y})^{2}} \leq ∣ \frac{\partial f}{\partial x} σ_{x} ∣ + ∣ \frac{\partial f}{\partial y} \cdot σ_{y} ∣

und das ist ja genau die Form die mir pleindespoir genannt hat. Das wäre demnach ja eine Fehlerabschätzung nach oben.

Wenn ich nun einmal den Fehler über die Gaußsche Fehlerforpflanzung betrachte erhalte ich dort

σ_{E, 1} = 2, 92 J

und bei der Abschätzung nach oben erhalte ich

σ_{E, 2} = 4 J

Das ist ja nicht der gleiche Fehler und unterscheidet sich sogar um

σ_{E, 2} - σ_{E, 1} = 1, 08 J

was ja nicht wenig ist.

Wenn nun beide Fehlerfortpflanzungen gelten einmal die geometrische Fortpflanzung und einmal die lineare und bei beiden ein verschiedener Fehler herauskommt, was ist dann nun der richtige Fehler? Ich meine bei der linearen Fortpflanzung ist der Fehler ja viel größer als bei der geometrischen was ja auch logisch ist da es eben eine Abschätzung nach oben ist. Was ist aber nun der wahre Fehler? Es kann ja nicht zwei verschiedene Fehler geben?!

Hoffentlich bringt jemand Licht in's dunkle!

Danke! :-)

pleindespoir aktiv_icon

22:49 Uhr, 24.10.2014

Der Unterschied liegt in der Wahrscheinlichkeit mit der die einzelnen Fehlerkomponenten eingeschätzt werden.

Dei der Addition der Beträge kaluliert man mit dem "Worschtkäs", also geht davon aus, dass jeder Wert mit maximalem Fehler auftritt und das auch durchschlägt auf das Endergebnis. Also 100% sämtlicher "mini-GAUs" wären damit abgedeckt.

Bei einer elektronischen Schaltung mit Tausenden von Einzelbauteilen würde es wohl bis heute noch kein Gerät bis zur Auslieferung geschafft haben, wenn man jedes Teil und seinen maximalen Fehlereinfluss mit zugehöriger Gewichtung betragsmässig zu all den anderen addiert. Die Wahrscheinlichkeit, dass dieser Fall auftritt, ist durchaus gegeben, aber in so geringer Häufigkeit, dass man das vernachlässigen kann. Hier wendet man die Summe der Quadrate unter der Wurzel an - das passt dann mit einer Wahrscheinlichkeit von (schlag mich nicht ich weiss es nicht genau) glaube 97% und die paar Platinen, die da völlig aus dem Ruder laufen, muss der Kunde eben wieder zurück in den Doofmarkt tragen, weil die Kiste direkt beim Einschalten abgeraucht ist.

Grob kann man sagen, dass bei einer grossen Anzahl von Einflussgrössen auf jeden Fall mit Euler geometrisch addiert wird.

gonnabeph aktiv_icon

08:49 Uhr, 25.10.2014

Das sollte erstmal reichen. Falls noch weitere Fragen auftauchen melde ich mich wieder.

Besten Dank!

gonnabeph aktiv_icon

08:49 Uhr, 25.10.2014

Das sollte erstmal reichen. Falls noch weitere Fragen auftauchen melde ich mich wieder.

Besten Dank!

gonnabeph aktiv_icon

08:49 Uhr, 25.10.2014

Das sollte erstmal reichen. Falls noch weitere Fragen auftauchen melde ich mich wieder.

Besten Dank!

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