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Fermatzahl

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Analytische Zahlentheorie

Tags: Analytische Zahlentheorie

Freak1ooo aktiv_icon

14:25 Uhr, 16.03.2010

Bitte um Hilfe!

Die n-te Fermatzahl F_n ist definiert durch F_n =2^(2^n)+ 1.
Zeige, dass {Produktzeichen; k=0; bis n} F_k = F_n+1 -2

Danke!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

DK2ZA aktiv_icon

19:21 Uhr, 16.03.2010

F_{n} = 2^{2^{n}} + 1

Behauptung:

\prod_{k = 0}^{n} F_{k} = F_{n + 1} - 2

Die ersten Fermatzahlen sind

F_{0} = 3

F_{1} = 5

F_{2} = 17

F_{3} = 257

F_{4} = 65537

Man kann leicht nachrechnen, dass die Behauptung bis

n = 3

stimmt.

Der allgemeine Beweis verwendet die vollständige Induktion.

Zu zeigen ist, dass aus (Induktionsvoraussetzung)

\prod_{k = 0}^{n} F_{k} = F_{n + 1} - 2

folgt, dass

\prod_{k = 0}^{n + 1} F_{k} = F_{n + 1 + 1} - 2

Wir betrachten die linke Seite:

\prod_{k = 0}^{n + 1} F_{k} =

= F_{n + 1} \cdot \prod_{k = 0}^{n} F_{k} =

Nun verwenden wir die Induktionsvoraussetzung:

= F_{n + 1} \cdot (F_{n + 1} - 2) =

Nun verwenden wir die Definition:

= (2^{2^{n + 1}} + 1) \cdot (2^{2^{n + 1}} + 1 - 2) =

= (2^{2^{n + 1}} + 1) \cdot (2^{2^{n + 1}} - 1) =

= {(2^{2^{n + 1}})}^{2} - 1 =

= 2^{2 \cdot 2^{n + 1}} - 1 =

= 2^{2^{n + 2}} - 1

Nun betrachten wir die rechte Seite:

F_{n + 2} - 2 =

= (2^{2^{n + 2}} + 1) - 2 =

= 2^{2^{n + 2}} - 1

q . e . d

GRUSS, DK2ZA

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