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Fibonacci Identität

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NFFN1 aktiv_icon

16:19 Uhr, 13.05.2021

Guten Tag,

es gilt folgende Identität zu zeigen:

\sum_{k = 0}^{n} F_{k} F_{n - k} = \sum_{k = 0}^{n} (k + 1) F_{k + 1} (- 2)^{n - k}

,
wobei

F_{i}

die i-te Fibonacci Zahl ist und

F_{0} = 1

.

Ich habe versucht mit Induktion zu lösen aber komme nicht weit. Wie würde man am besten hier vorgehen?

MfG,
Noah

DrBoogie aktiv_icon

18:36 Uhr, 13.05.2021

Vermutlich kann man es auch per Induktion beweisen, das sieht aber für mich nach langen und mühevollen Rechnungen.
Aber mit erzeugenden Funktionen geht es relativ einfach:
math.stackexchange.com/questions/3221920/proof-of-a-fibonacci-identity?rq=1

NFFN1 aktiv_icon

19:11 Uhr, 13.05.2021

Ich verstehe den Beweis nicht ganz, da ich nicht sehr viel über erzeugende Funktionen weiss.

Wenn

F (z) = \sum_{k = 0}^{\infty} F_{k} z^{k}

warum ist dann die Ableitung

\sum_{k = 0}^{\infty} (k + 1) F_{k + 1} z^{k}

?

Warum kann man bei

\sum_{j = 0}^{\infty} (- 2 z)^{j}

behaupten, dass

∣ - 2 z ∣ < 1

Warum ist die Identität mit

F (z)^{2}

bewiesen?

DrBoogie aktiv_icon

20:49 Uhr, 13.05.2021

"Wenn F(z)=∑k=0∞Fkzk warum ist dann die Ableitung ∑k=0∞(k+1)Fk+1zk?"

Die Reihe

\sum_{k = 0}^{\infty} F_{k} z^{k}

ist

F_{0} + \sum_{k = 0}^{\infty} F_{k + 1} z^{k + 1}

. Jetzt wird einfach direkt abgeleitet. Ableitung von

F_{0}

ist

0

und in der Reihe wird jeder Summand abgeleitet.

"Warum kann man bei ∑j=0∞(−2z)j behaupten, dass ∣−2z∣<1"

Kann man nicht und muss man nicht. Aber für das Argument reicht es nur solche

z

zu betrachten.

"Warum ist die Identität mit F(z)^2 bewiesen?"

Wegen

F (z) = \sum_{k = 0}^{\infty} F_{k} z^{k}

haben

F (z)^{2} = (\sum_{k = 0}^{\infty} F_{k} z^{k})^{2} = \sum_{n = 0}^{\infty} \sum_{k = 0}^{n} F_{k} z^{k} F_{n - k} z^{n - k} =

= \sum_{n = 0}^{\infty} z^{n} \sum_{k = 0}^{n} F_{k} F_{n - k}

- hier wurde die Cauchy-Produkt-Formel benutzt.
Am Ende macht man Koeffizientenvergleich zwischen den Reihen.

NFFN1 aktiv_icon

21:05 Uhr, 13.05.2021

Okay, habs verstanden.

Vielen Dank!

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