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Fibonacci-Zahlen und Eigenwerte

Universität / Fachhochschule

Eigenwerte

Tags: Eigenwert, Endomorphismus, Fibonacci - Zahlen, Koordinatentransformation

anonymous

14:43 Uhr, 11.05.2013

Ich grüße euch.

(Notation: EV := Eigenvektor, EW := Eigenwert)

Aufgabe:
Die Fibonacci-Zahlen seien beschrieben durch

a_{n + 1} = a_{n} + a_{n - 1}

.

(1)
Zuerst sollte bzgl. der kanonischen Basis die Abbildungsmatrix F gefunden werden, die

(\binom{a_{n - 1}}{a_{n}})

auf

(\binom{a_{n}}{a_{n + 1}})

abbildet, um dann damit Eigenwerte und Eigenvektoren zu bestimmen.
Das meine ich hinbekommen zu haben:
F =

(\begin{array}{rcl} 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{array})

Das char. Polynom ist

0 = t^{2} - t - 1

EW sind

t_{1, 2} = \frac{1}{2} + - \frac{\sqrt{5}}{2}

EV sind

(1, \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2}); (1, \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{5}}{2})

(2)
Nun sollten die EV von F eine Basis B bilden und man soll die Koordinaten von

(\binom{a_{0}}{a_{1}})

(\binom{0}{1})

bzgl. dieser Basis bestimmen.
Dazu habe ich S =

(\begin{array}{rcl} 1 & 1 \\ \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2} & \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{5}}{2} \end{array})

invertiert:

S^{- 1}

(\begin{array}{rcl} (\frac{1}{2} - \frac{1}{\sqrt{5}}) & \frac{1}{\sqrt{5}} \\ (\frac{1}{2} + \frac{1}{\sqrt{5}}) & \frac{- 1}{\sqrt{5}} \end{array})

Für die neuen Koordniaten erhielt ich nun:

S^{- 1} * (\binom{0}{1}) = (\binom{\frac{1}{\sqrt{5}}}{\frac{- 1}{\sqrt{5}}})

(3)
Als nächstes sollte die Abb.matrix von F bzgl. B bestimmt werden.
Hier meine ich müsste die Diagonalmatrix der Eigenwerte herauskommen.
Stimmt das?

(4)
Dann war nach den Koordiaten von

(\binom{a_{n - 1}}{a_{n}})

bzgl. B für ein allgemeines n gefragt.
Hierbei bin ich analog zu (2) vorgegangen, nur diesmal mit dem allgemeinen Vektor:

S^{- 1} * (\binom{a_{n - 1}}{a_{n}})

Das Ergebnis kann man ja erahnen, aber ist das überhaupt das richtige Vorgehen?

(5)
Man soll durch Rücktransformation auf die kanonische Basis die explizite Darstellung der Fibonacci-Folge

a_{n}

ermitteln.
Hierbei bin ich irgendwie ratlos, da ich zwar vermute, dass ich die Koordniaten aus (4) brauche, aber nicht weis, was ich jetzt tun muss, um damit auf die ursprüngliche Darstellung der Folge zu kommen.

Bei (1)-(4) bin ich mir halbwegs sicher, aber vor allem bei (5) herrscht Not am Mann.
Vorab schon Danke für die Mühe.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

pwmeyer aktiv_icon

20:02 Uhr, 11.05.2013

Hallo,

ich habe das nicht nachgerechnet, aber im Überblick scheint es mir richtig.

Was jetzt Teil 4 und 5 angeht, so kannst Du ja die Vektoren

(a_{n - 1}, a_{n})

bezüglich der Basis leicht ausrechnen. Denn in dieser Basis ist der Fortschritt durch eine DiagonalMatrix

D = (\begin{matrix} λ & 0 \\ 0 & μ \end{matrix})

gegeben mit

D^{n} = (\begin{matrix} λ^{n} & 0 \\ 0 & μ^{n} \end{matrix})

.

Wenn Du dann die Koeffizienten der Vektoren

(a_{n - 1}, a_{n})

bezüglich

B

hast, dann ist eben

(a_{n - 1}, a_{n})

Linearkombination aus den Basisvektoren mit den Koeffizienten.

Gruß pwm

anonymous

22:06 Uhr, 11.05.2013

Danke für die bisherige Antwort.

Zu (4)

In meinen Unterlagen habe ich dann doch noch einen Verweis zu derartigen Aufgabenstellungen gefunden.

Mit viel Rechnerei kam ich nun zu folgendem Ergebnis:

{(\begin{array}{rcl} a_{n - 1} \\ a_{n} \end{array})}_{B} = (\begin{array}{rcl} \frac{1}{5} * {(\frac{1 - \sqrt{5}}{2})}^{n - 1} * (\frac{1 + \sqrt{5}}{2}) - \frac{1}{5} * {(\frac{1 - \sqrt{5}}{2})}^{n} \\ - \frac{1}{5} * {(\frac{1 - \sqrt{5}}{2})}^{n - 1} * (\frac{1 + \sqrt{5}}{2}) + \frac{1}{5} * {(\frac{1 - \sqrt{5}}{2})}^{n} \end{array})

Wenn ich probehalber noch einmal wie in (3)

n - 1 = 0

und

n = 1

setze, dann erhalte ich auch die Koordinaten, die ich dort berechnet hatte.
Scheint also geklappt zu haben.

Jetzt ist mir aber immer noch schleierhaft, wie ich auf die kanonische Basis zurücktransformatiere, um die explizite Darstellung der Fibonacci-Folge zu ermitteln.
Gäbe es dazu noch Tipps?

anonymous

00:44 Uhr, 12.05.2013

Ich möchte kurz einwerfen, dass meine Zwischenergebnisse mit Vorsicht zu genießen sind, da mir gerade eben (besser spät als nie) aufgefallen ist, dass die ganze Zeit meine

S^{- 1}

Matrix falsch war.
Zumindest in der ersten Spalte steht da ein Fehler. (3) bleibt also weiter richtig, aber für (4) ist das hier geschriebene Ergebnis wohl mehr als falsch.

Muss (4) heut als nochmals durchrechnen, aber für (5), also der Rücktransformationsaufgabe, wäre mir jeder Ansatz zur Vorgehensweise lieb und teuer.
(Wie ich (ver)rechnen doch hasse...)

anonymous

16:36 Uhr, 12.05.2013

Also ich habe jetzt halbwegs ansehnliche Koordinaten bzgl. der Basis B.

Zu (5) kamen mir noch ein paar Gedanken.
Wenn ich meine Koordinatendarstellung bzgl. B mit meiner Darstellungsmatrix F multipliziere, dann erhalte ich in der ersten Zeile wieder die Koordinaten von

a_{n}

und in der zweiten Zeile

a_{n - 1} + a_{n}

.
Diese Summe der zweiten Zeile, ergab erstaunlicherweise auch die Darstellung von

a_{n + 1}

bzgl B.

Ist mit dem Ausdruck "Rücktransformation" diese "Probe" mit den Koordinaten bzgl. B gemeint?

anonymous

21:12 Uhr, 12.05.2013

So, die Lösung ist mir theoretisch jetzt klar, nur mit dem ausrechnen will es noch nicht so recht klappen.

Zur Vollständigkeit aber noch die Ausführungen zu (5):

Analog zu (3) transformiert man die Koordinaten von (4) zurück auf die kanonische Basis.
Während man also in (3) die alten Koordinaten von links mit

S^{- 1}

multiplizierte, um die neuen Koordinaten bzgl. B zu erhalten, so multipliziert man jetz die Koordinaten aus (4) von links mit S, um die Darstellung bzgl. der kanonischen Basis zu erhalten.

Prinzipiell, also wenn man sich im Gegensatz zu mir nicht ständig verrechnet, so sollte jetzt wieder ein Vektor herauskommen, indem in beiden Zeilen der gleiche Ausdruck zu sehen ist, nur das die Exponenten verschieden sind.

Für

S * (\binom{a_{n - 1}}{a_{n}})

müsste dann
= ( "Irgendwas mit n-1 im Exponenten", "das gleiche Irgendwas mit n im Exponenten" )

Dieses "Irgendwas" gibt dann für alle n die explizite Darstellung der Fibonacci-Folge an.

Wie diese explizite Darstellung aussehen sollte, kann man bei dem Beispiel ergooglen, was mir anfangs gar nicht bewusst war.
Für andere Beispiele ist das Vorgehen dann analog, so dass man an den Rechnung selbst also erkennen kann, ob man richtig gerechnet hat.

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