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Fibonaccizahlen (Bienen) - vollständige Induktion

Universität / Fachhochschule

Folgen und Reihen

Tags: Fibonacci-Zahlen, Folgen, Reihen, Vollständig Induktion

 
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Goaly

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08:10 Uhr, 22.11.2010

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Und noch eine 3. Aufgabe von mir, wobei ich mich riesig über Hilfe freuen würde. Danke schonmal im Voraus!

Wir denieren die Folge der Fibonaccizahlen fur jedes n∈ℕ rekursiv wie folgt:
f0=1,f1=1 und fur alle n∈ℕ:f(n+2)=f(n+1)+f(n):
Eine Drohne (männliche Biene) schlüpft aus einem unbefruchteten Ei einer Bienenkönigin,
während aus befruchteten Eiern die (weiblichen) Arbeiterinnen und Königinnen schlupfen. Eine Drohne hat also nur ein Elternteil (namlich die Königin), wahrend Königinnen, zwei Eltern haben.

Zeigen Sie, dass eine Drohne in der n-ten Vorfahrengeneration genau f(n) Vorfahren hat.

Also:
Die 1. Vorfahrengeneration ist die der Eltern.
Die betrachtete Drohne hat nur einen Vorfahren in der 1.
Vorfahrengeneration nämlich seine Mutter, eine Königin.
Die Drohne hat zwei Vorfahren in der 2. Vorfahrengeneration,
(die Großeltern) eine Drohne und eine Königin.

Ich verstehe irgendwie den Zusammenhang zwischen den Fibonaccizahlen und dem Bienenbeispiel überhaupt nicht. :(

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
Online-Nachhilfe in Mathematik
Antwort
hagman

hagman aktiv_icon

13:01 Uhr, 22.11.2010

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Am besten zeigt man:
In Generation n gibt es fn-2 Drohnen und fn-1 Königinnen.
Hat man hierfür erst einmal den Induktionsanfang (z.B. für n=1 und n=2), so geht es wie folgt weiter:
In Generation n+1 gibt es fn-2 Mütter von Drohnen und fn-1 Elternpaare von Königinnen, also insgesamt fn-2+fn-1=fn Königinnen und fn-1 Drohnen, wzbw.