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Flächenintegral v. Ellipse mit Polarkoordianten

Schüler

Tags: Ellipse, Flächenintegral, Polarkoordianten

Dunkler

13:54 Uhr, 21.06.2015

Guten Tag,
wie die Überschrift schon vermuten lässt,
möchte ich die Fläche einer Parabel mit Flächenintegral und Polarkoordinaten bestimmen.

Leider kam ich bis jetzt nicht so richtig zum Ergebnis, auch Google förderte nichts Brauchbares zu Tage.
Falls jemand eine Herleitung / den Rechenweg, verlinkten könnte, wäre ich auch schon sehr dankbar.

Mein letzter Ansatz war:

A = \int_{0}^{2 \cdot π} \int_{0}^{p} r

d φ

mit

p^{2} = a^{2} \cdot {cos}^{2} (α) + b^{2} \cdot {sin}^{2} (α)

und

α =

arctan (

\frac{a}{b} \cdot tan (φ))

Mit freundlichen Grüßen
Dunkler

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Roman-22

16:44 Uhr, 21.06.2015

>

auch Google förderte nichts Brauchbares zu Tage
das darf stark bezweifelt werden.
Wenn du Begriffe wie "Flächeninhalt Polarkoordinaten" eingibst, erhältst du sofort jede Menge Links, die dich zur brauchbaren Formel für die Sektorfläche führen.
Du hast mit deinem Doppelintgeral ja auch schon fast die zu verwendete Formel gefunden, musst das Doppelintegral mit

p = r (φ)

nur noch zu

A = \frac{1}{2} \cdot \int_{φ_{1}}^{φ_{2}} r^{2} (φ) d φ

vereinfachen.

Dein Hauptproblem scheint die Darstellung einer Parabel in Polarkoordinaten zu sein, denn was du da mit deinen a und

b

machst ist mir unklar. Vor allem, da du ja auch nicht angibts, welche Parabel du da in Polarkoordinaten quetschen möchtest, wie sie im KS liegt, etc.

Aber auch hier hilft Onkel Google und auf den Suchbegriff "Parabel in Polarkoordinaten" könnte man fast auch schon selbst kommen.
www.google.at/search?q=Parabel+in+Polarkoordinaten

R

Dunkler

18:23 Uhr, 21.06.2015

Tag,
erstmal Danke für Deine Antwort.

Wie der Titel sagt, will ich die Fläche einer Ellipse berechnen.

Also

{(\frac{x}{a})}^{2} + {(\frac{y}{b})}^{2} = 1

Zu Parabeln findet man natürlich einiges,
aber bei Ellipsen wird entweder auf die kartesischen Koordinaten gesprungen
oder es sind nur Foreneinträge, aus denen man nicht wirklich schlau wird.

Das mit

r^{2} (φ)

hatte ich auch schon – ist ja der nächst logische Schritt –,
aber wenn ich das erhaltene Integriere(n lasse), erhalte ich einen Ausdruck, der wohl alles sprengt… .

MfG
Dunkler

ledum aktiv_icon

18:41 Uhr, 21.06.2015

Hallo

a)

berechne die Fläche des Kreises mit Radius a und stauche ihn mit

\frac{b}{a}

b)

benutze

r = \frac{p}{1 - ε \cdot cos φ}

. mit

p = \frac{b^{2}}{a}

und

ε = \frac{e}{a}

dadbei liegt der Nullpunkt in einem Brennpunkt.
ist das wirklich ne Schulaufgabe? wenn nicht poste bei uni!
Gruß ledum

Roman-22

18:56 Uhr, 21.06.2015

>

Wie der Titel sagt, will ich die Fläche einer Ellipse berechnen.
Der Titel mag das besagen, jedoch hast du nach etwas anderem gefragt. Ich darf dich zitieren:
" ...möchte ich die Fläche einer Parabel mit Flächenintegral und Polarkoordinaten bestimmen. "

Bei den Links zur Polardarstellung findet sich trotzdem desöfteren auch der Hinweis darauf, dass es sich um den Sonderfall mit

ε = 1

der allgemeinen Polardarstellung eines Kegelsschnitts handelt und den hat ledum dir ja jetzt gepostet.
Siehe auch etwa Seite 6 von www.mathe-seiten.de/kegelschnitte.pdf

Und wenn du dann gar noch nach "Ellipse in Polarkoordinaten" suchst
www.google.com/search?q=Ellipse+in+Polarkoordinaten
Solltest du genug Quellen finden, die dir die die entsprechende Darstellung verraten und auch mehr oder weniger ausführlich herleiten.

Das sich einstellende Integral ist aber wohl eher nicht Schulniveau.

R

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