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Fluss durch Kugeloberfläche

Universität / Fachhochschule

Integration

Tags: Integration

roggenfaenger aktiv_icon

22:44 Uhr, 07.11.2015

Hallo,

ich möchte den Fluss der Kraft

F (r, θ, φ) = \frac{1}{∣ \vec{r} ∣^{2}} \vec{e_{r}}

durch eine Kugeloberfläche mit Radius r berechnen.
Die Parametrisierung der Kugeloberfläche sieht folgend aus:

\vec{a_{r}} (θ, φ) = r (\begin{array}{rcl} c o s (φ) s i n (θ) \\ s i n (φ) s i n (θ) \\ c o s (θ) \end{array})

Es muss hierbei ein vektorielles Oberflächenintegral gelöst werden. Den Normalenvektor berechne ich aus den partiellen Ableitungen der Parametrisierung.

Mein Problem stellt hierbei das Vektor- bzw. Kraftfeld

F (r, θ, φ)

dar. Ich möchte aus

F (r, θ, φ)

und dem Normalenvektor ein Skalarprodukt bilden, weiß aber leider nicht, wie

F (r, θ, φ)

aussieht.

F (r, θ, φ) = (\begin{array}{rcl} ? ? \\ ? ? \\ ? ? \end{array})

Idee:

F (x, y, z) = \frac{1}{x^{2} + y^{2} + z^{2}} (\begin{array}{rcl} x \\ y \\ z \end{array}) ?

Ich wäre sehr dankbar, wenn mir jemand helfen konnte!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

ledum aktiv_icon

23:33 Uhr, 07.11.2015

Hallo
solche Aufgaben sollte man vor dem rechnen kur überlegen! auch ohne irgenwelche Ableitungen weist du welche Richtung die Normale auf eine Kugel hat! steh auf und due stehst halbwegs wie eine Normale der Erde!
dann betrachte die Richtung von

\vec{F}

dann ist schon fast nichts mehr zu rechnen!
Gruß ledum ?

roggenfaenger aktiv_icon

09:12 Uhr, 08.11.2015

Danke für deine Antwort!

=>
F zeigt in radialer Richtung und steht zu jeder Zeit senkrecht auf der Kugeloberfläche, d.h. die Beträge heben sich alle auf und der Fluss ist 'null'. (?)

ledum aktiv_icon

01:01 Uhr, 09.11.2015

Hallo
das verstehe ich jetzt nicht?
Gruss ledum

roggenfaenger aktiv_icon

09:15 Uhr, 09.11.2015

Ich dachte, dass du darauf hinaus wolltest...
Dann vergiss das lieber..

Ich verstehe leider nicht so ganz, worauf du eigentlich hinaus wolltest.

DerDepp aktiv_icon

17:22 Uhr, 09.11.2015

Hossa :-)

Der Fluss

Φ

des Kraftfeldes

\vec{F}

durch die Kugeloberfläche

O_{K}

ist:

Φ = \int_{O_{K}} \vec{F} (\vec{r}) \cdot d \vec{f}

Am einfachsten rechnet man hier in Kugelkoordinaten:

\vec{r} = r (\begin{array}{c} \sin θ \cos ϕ \\ \sin θ \sin ϕ \\ \cos θ \end{array}) \Rightarrow {\vec{e}}_{r} = \frac{\partial \vec{r}}{\partial r} / ∣ \frac{\partial \vec{r}}{\partial r} ∣ = (\begin{array}{c} \sin θ \cos ϕ \\ \sin θ \sin ϕ \\ \cos θ \end{array})

Das Kraftfeld ist sogar schon fertig in diesen angegeben:

\vec{F} (\vec{r}) = \frac{1}{{∣ \vec{r} ∣}^{2}} {\vec{e}}_{r} = \frac{1}{r^{2}} {\vec{e}}_{r}

Der Normalenvektor

d \vec{f}

des Oberflächenelements ist:

d \vec{f} = \frac{\partial \vec{r}}{\partial θ} \times \frac{\partial \vec{r}}{\partial ϕ} = r (\begin{array}{c} \cos θ \cos ϕ \\ \cos θ \sin ϕ \\ - \sin θ \end{array}) \times r (\begin{array}{c} - \sin θ \sin ϕ \\ \sin θ \cos ϕ \\ 0 \end{array}) = r^{2} (\begin{array}{c} \sin^{2} θ \cos ϕ \\ \sin^{2} θ \sin ϕ \\ \sin θ \cos θ \end{array}) = r^{2} \sin θ (\begin{array}{c} \sin θ \cos ϕ \\ \sin θ \sin ϕ \\ \cos θ \end{array}) = r^{2} \sin θ \cdot {\vec{e}}_{r}

Damit lässt sich der Integrand zusammenbauen:

\vec{F} (\vec{r}) \cdot d \vec{f} = \frac{1}{r^{2}} {\vec{e}}_{r} \cdot r^{2} \sin θ \cdot {\vec{e}}_{r} = \sin θ

Die Kugeloberläche wird parametrisiert durch

θ \in [0; π]

und

ϕ \in [0; 2 π [

. Daher ist der Fluss:

Φ = \int_{0}^{2 π} d ϕ \int_{0}^{π} d θ \sin θ = 2 π {[- \cos Θ]}_{0}^{π} = 2 π (1 + 1) = 4 π

roggenfaenger aktiv_icon

19:56 Uhr, 10.11.2015

Vielen Dank!!

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