Fluss durch Oberfläche eines Zylinders

Hallo Leute!

Ich hab ein Problem mit folgender Aufgabe:

Gegeben ist das Vektorfeld

${\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{F<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>},\mathrm{y<mspace\; width="0.12em"></mspace>},\mathrm{z<mspace\; width="0.12em"></mspace>})={(\mathrm{y<mspace\; width="0.12em"></mspace>}{\mathrm{e<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{\mathrm{z<mspace\; width="0.12em"></mspace>}};-\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}{\mathrm{e<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{\mathrm{z<mspace\; width="0.12em"></mspace>}};{\mathrm{e<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{\mathrm{z<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{\delta <mspace\; width="0.12em"></mspace>}})}^{\mathrm{T<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}\mathrm{m<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{i<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{t<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{\delta <mspace\; width="0.12em"></mspace>}=\sqrt{{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^2+{\mathrm{y<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^2}}$

und der Zylinder:

${\displaystyle \mathrm{K<mspace\; width="0.12em"></mspace>}:{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^2+{\mathrm{y<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^2\le {\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^2;0\le \mathrm{z<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\le 1}$ mit der Oberfläche S.

Berechnet werden sollen

a) divF

b)den Fluss von F durch S nach außen

so was ich bisher geschafft hab:

a) hab ich hinbekommen : ${\displaystyle \mathrm{d<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{i<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{v<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\overrightarrow{\mathrm{F<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}=\mathrm{\delta <mspace\; width="0.12em"></mspace>}{\mathrm{e<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{\mathrm{z<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{\delta <mspace\; width="0.12em"></mspace>}}}$

b) jetzt wende ich den Satz von Gauß an : ${\displaystyle \int \mathrm{d<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{i<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{v<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{F<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{d<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{V<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$

Nun habe ich das in a) berechnete Ergebnis eingesetzt und in Zylinderkoordinaten umgeformt:

${\displaystyle \mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=\mathrm{r<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{cos<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\mathrm{\phi <mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)\mathrm{y<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=\mathrm{r<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{sin<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\mathrm{\phi <mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)\mathrm{z<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=\mathrm{z<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$

Das heisst ich bekomme dann folgendes Integral:

$$\begin{gathered} {\displaystyle \int \mathrm{r<mspace\; width="0.12em"></mspace>}{\mathrm{e<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{\mathrm{z<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{r<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}\mathrm{d<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{V<mspace\; width="0.12em"></mspace>} \\ \mathrm{d<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{V<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=\mathrm{r<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{d<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{r<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{d<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{\phi <mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{d<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{z<mspace\; width="0.12em"></mspace>} \\ \to \iiint {\mathrm{r<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^2{\mathrm{e<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{\mathrm{z<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{r<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}\mathrm{d<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{r<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{d<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{\phi <mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{d<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{z<mspace\; width="0.12em"></mspace>} \\ } \end{gathered}$$

Grenzen wären

$$\begin{gathered} {\displaystyle \mathrm{\phi <mspace\; width="0.12em"></mspace>}\in (0;2\mathrm{\pi <mspace\; width="0.12em"></mspace>})\mathrm{z<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{s<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{i<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{e<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{h<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{e<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{o<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{b<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{e<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{z<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{w<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{.}0\mathrm{u<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{d<mspace\; width="0.12em"></mspace>}1\mathrm{u<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{d<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{r<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\in (-\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>};\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}) \\ } \end{gathered}$$

Nun zu meiner Frage: Ich bin mir absolut nicht sicher ob mein Ansatz so richtig ist!

1. Weil es sich hier um eine Übungsaufgabe von mathematik-online.org handelt und die Integration für die Schwierigkeitsstufe doch ne Nummer zu hart ist!

2. Bei Wolfram Mathematica kommt ein riesen Term raus ( wenn ich nach dr integriere)

Kann mir evtl jemand auf die Sprünge helfen, wo mein Fehler liegt? Wäre echt dankbar - verzeifel langsam! ;)

Grüße

Super hat bestens funktioniert. Wenn man in dieser Reihenfolge integriert (dzdphidr), dann kommt man dann auf eine Leichtere Form um das r zu integrieren (Formel dafür im Repetitorium der Höheren Mathematik)!

Danke!

Habe hier noch eine 3. Teilaufgabe: Ich soll den Fluss von rotF durch S nach außen berechnen. In der Hilfe steht: Der Fluss der Rotation eines Vektorfeldes durch die Oberfläche eines geschlossenen Körpers lässt sich ohne Rechnung bestimmen. Leider kann ich damit nichts anfangen! Kann mir jemand weiter helfen?

EDIT: Habe gerade folgenden Satz gefunden: Der Fluss der Rotation von F durch eine beliebige geschlossene Fläche ist Null. Somit hab ich die Lösung aber am Verständnis fehlt es!

Kann mir das jemand erklären oder ist das zu umfangreich?