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Folge monoton, beschränkt, konvergent?

Universität / Fachhochschule

Folgen und Reihen

Tags: Beschränkt, Folgen und Reihen, konvergent, monoton

desaster137 aktiv_icon

12:34 Uhr, 11.05.2017

Hallo Matheforum,

ich hätte eine Frage zu diesem Beispiel:

Untersuchen Sie die durch ihr Bildungsgesetz angegebene Folge auf Monotonie, Beschänktheit und Konvergenz:

a_{n} = \frac{2 n - 1}{n + 1}

Zunächst berechnet ich mir die ersten paar Folgeglieder:

〈 \frac{1}{2}; \frac{3}{3}; \frac{5}{4}; \frac{7}{5}; . . . 〉

M o n o t o n i e :

Vermutung ist, dass

a_{n}

streng monoton wachsend ist, also bedeutet das:

a_{n} < a_{n + 1}

Dann erhalte ich:

0 < 3

. Dies ist eine wahre Aussage, die bedeutet

a_{n}

ist streng monoton wachsend.

B e s c h r ä n k h e i t :

Weil ja

a_{n}

steigend ist, ist mein untere Schranke

a_{1}

, also

\frac{1}{2}

. Doch wie kann ich mir die obere Schranke berechnen? Gäbe es eine andere Möglichkeit als den Limes anzuwenden, damit ich auf die obere Schranke komme?

Ich danke euch jetzt schon für eure Antworten.

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Monotonieverhalten (Mathematischer Grundbegriff)

Respon

12:48 Uhr, 11.05.2017

Dein "Beweis" für die Monotonie ist hinterfragenswürdig.

desaster137 aktiv_icon

12:55 Uhr, 11.05.2017

Bei der Monotonie berechne ich:

\frac{2 n - 1}{n + 1} < \frac{2 * (n + 1) - 1}{n + 1 + 1}

\frac{2 n - 1}{n + 1} < \frac{2 n + 1}{n + 2}

(2 n - 1) * (n + 2) < (2 n + 1) * (n + 1)

2 n^{2} + 4 n - n - 2 < 2 n^{2} + 2 n + n + 1

3 n - 2 < 3 n + 1

- 2 < 1

. Was würde bei dieser Methode nicht passen?

Respon

13:01 Uhr, 11.05.2017

In logischer Hinsicht etwas heikel. Du gehst von einer Aussage aus, die ja entweder wahr oder falsch ist und kommst durch Implikationen zu einer abschließenden wahren Aussage.
Dir ist aber aus der Logik sicher bekannt, dass auch aus einer falschen Aussage auf eine wahre Aussage geschlossen werden kann ( ex falso quodlibet ). Zulässig wäre es, wenn es um Äquivalenzumformungen handelt, die dann "von unten nach oben" wieder abgehandelt werden.

desaster137 aktiv_icon

13:12 Uhr, 11.05.2017

Wie würde ich die Monotonie dann anders beweisen?..

Respon

13:19 Uhr, 11.05.2017

Da gäbe viele Varianten ( einschließlich des indirekten Beweises ).

z . B

.
Forme den Term um:

\frac{2 \cdot n - 1}{n + 1} = 2 - \frac{3}{n + 1}

Dann ist

a_{n} = 2 - \frac{3}{n + 1}

und

a_{n + 1} = 2 - \frac{3}{n + 2}

Eine ganz sicher wahre Aussage ist

n + 1 < n + 2

| Kehrwert

\frac{1}{n + 1} > \frac{1}{n + 2}

| \cdot 3

\frac{3}{n + 1} > \frac{3}{n + 2}

| \cdot (- 1)

- \frac{3}{n + 1} < - \frac{3}{n + 2}

| + 2

2 - \frac{3}{n + 1} < 2 - \frac{3}{n + 2}

a_{n} < a_{n + 1}

Mit dem umgeformten Term läßt sich auch eine obere Schranke sehr leicht finden.

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