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Folgen auf Beschränktheit überprüfen

Universität / Fachhochschule

Folgen und Reihen

Tags: Beschränktheit n² - n, Folgen und Reihen

toastbeer aktiv_icon

12:01 Uhr, 17.09.2013

Hallo Leute, versuche mich gerade an 2 Aufgaben einer Übungsklausur und wollte mal die Experten fragen, ob ich auf dem richtigen Weg bin.

Na denn fang ich mal an...

Aufgabe: Überprüfen Sie folgende Folgen auf Beschränktheit (Beweis!)

a) a_{n} = n^{2} - n

Auf obere Schranke überprüfen:

a_{n} > a_{n} + 1

n^{2} - n > {(n + 1)}^{2} - n + 1 |

erste binomische Formel

n^{2} - n > n^{2} + 2 n + 1 - n + 1 | - n^{2} + n

0 > 2 n + 2 | - 2

- 2 > 2 n | : 2

- 1 > n

Diese Aussage ist falsch, da

n

immer größer

o

. gleich Null sein muss!

Auf untere Schranke überprüfen:

a_{n} < a_{n} + 1

n^{2} - n < {(n + 1)}^{2} - n + 1 |

erste binomische Formel

n^{2} - n < n^{2} + 2 n + 1 - n + 1 | - n^{2} + n

0 < 2 n + 2 | - 2

- 2 < 2 n | : 2

- 1 < n

Diese Aussage ist wahr, da

n

immer größer

o

. gleich Null sein muss!

b) a_{n} = {(- 2)}^{n}

Auf obere Schranke überprüfen:

a_{n} > a_{n} + 1

{(- 2)}^{n} > {(- 2)}^{n} + 1 |

Ausdruck anders "umschreiben"

{(- 2)}^{n} > {(- 2)}^{n} \cdot {(- 2)}^{1} | : {(- 2)}^{n}

0 > {(- 2)}^{1}

0 > - 2

Diese Aussage ist wahr, Folge ist also nach oben beschränkt.

Auf untere Schranke überprüfen:

a_{n} < a_{n} + 1

{(- 2)}^{n} < {(- 2)}^{n} + 1 |

Ausdruck anders "umschreiben"

{(- 2)}^{n} < {(- 2)}^{n} \cdot {(- 2)}^{1} | : {(- 2)}^{n}

0 < {(- 2)}^{1}

0 < - 2

Diese Aussage ist falsch, Folge ist also nicht nach unten beschränkt.

Liege ich soweit richtig mit meinen Ergebnissen, oder bin ich auf dem Holzweg?

Gruß

Sven

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Respon

12:18 Uhr, 17.09.2013

Schreibe bei jeder Folge einige Folgeglieder hin.

a) a_{n} = n^{2} - n \Rightarrow 0; 2; 6; 12; 20; . .

b) a_{n} = {(- 2)}^{n} \Rightarrow - 2; 4, - 8; 16; - 32; . .

pwmeyer aktiv_icon

12:38 Uhr, 17.09.2013

Hallo toastbeer,

es sieht so aus, als hättest Du nicht Beschränktheit überprüft, sondern die Monotonie überprüft?

Gruß pwm

herbert1 aktiv_icon

14:26 Uhr, 17.09.2013

Hallo toastbeer,

verdeutliche Dir noch einmal, was es heißt,
eine Folge hat eine obere (bzw. untere) Schranke.

Was muss dann für alle Folgenglieder gelten?

Dein Vergleich zweier benachbarter Folgenglieder hilft häufig nicht weiter.
denke vielleicht auch einmal daran, dass eine Folge alternierend sein kann,
also mit jedem Folgenglied das Vorzeichen wechselt.

Angenommen, Du bist der Überzeugung, dass die Folge nach oben unbeschränkt ist.
Wie könnte man das beweisen?

Eine Möglichkeit:
Durch die Annahme des Gegenteils, woraus sich dann ein Widerspruch ergibt.

Beispiel:

Sei

b_{n} = n (n + 2)

eine rekursiv definierte Folge.

Beh.: es gibt keine obere Schranke.

Beweis ("indirekt", also durch Annahme des Gegenteils)

Annahme die reelle Zahl

r

sei eine obere Schranke,

für alle

b_{n}

gilt dann:

b_{n} < r

Sei nun die natürliche Zahl

m

die kleinste natürliche Zahl, die größer oder gleich

r

ist.

Dann gilt also auch für alle

n : b_{n} < r \leq m

demnach müsste auch

b_{m} = m (m + 2) < r \leq m

sein.

Ist das möglich?

...

toastbeer aktiv_icon

15:19 Uhr, 18.09.2013

Hmm... so richtig klick hats noch ncht gemacht, leider!

Also wenn ich das richtig sehe ist die Folge

a)

streng monoton steigend und die in

b)

alternierend, richtig?

Womit beginne ich jetzt um die Folgen auf Beschränktheit zu überprüfen?

Im Netz habe ich leider nur immer sehr oft gefunden, dass die Schranken geschätzt wurden.
Aber das muss ja auch rechnerisch gehen. Herbert hat da ja schon was angedeutet...

toastbeer aktiv_icon

15:19 Uhr, 18.09.2013

sorry für den Doppelpost...

herbert1 aktiv_icon

19:37 Uhr, 18.09.2013

Hallo toastbeer,

dann möchte ich einmal zeigen, dass die Folge

a_{n} = n^{2} - n

nicht nach oben beschränkt ist.

Wenn man sich die Folge anschaut (ein paar Folgenglieder ausrechnet), so vermutet man ja sehr schnell, dass die Folge streng monoton wachsend ist:

Also:

a_{n} < a_{n + 1}

Das kann man auch sehr schnell zeigen:

a_{n} < a_{n + 1}

\Leftrightarrow n^{2} - n < {(n + 1)}^{2} - (n + 1)

\Leftrightarrow n^{2} - n < n^{2} + 2 n + 1 - n - 1

\Leftrightarrow n^{2} - n < n^{2} + n

Diese Aussage ist wahr für alle

n

.

Aber das beweist noch nicht, dass die Folge nach oben nicht beschränkt ist.

Wie kann ein solcher Beweis aussehen?
Ich führe häufig gerne einen indirekten Beweis,

d . h

.
ich nehme das Gegenteil an und führe diese Annahme zu einem Widerspruch.
Das bedeutet, dass diese Annahme nicht möglich sein kann.

Also:

Annahme:

a_{n}

ist nach oben beschränkt.

Dann gibt es -nach Definition der Beschränktheit- ein

r

aus

R,

so dass

für alle

n

aus

N

gilt:

a_{n} < r

r

ist ja nun eine eindeutige reelle Zahl (auch wenn wir den Wert nicht kennen).
Wir wissen, es gibt natürliche Zahlen, die größer oder gleich

r

sind.

Sei

m

aus

N

nun die von

r

aus betrachtet die nächstgrößere natürliche Zahl, die größer oder gleich

r

ist.
(wenn

r

bereits eine natürliche Zahl ist, so gilt

r = m;

. .

. bedenke, den genauen Wert von

r

kennen wir ja nicht.
ansonsten ist

m

die nächstgrößere natürliche Zahl).

es gilt also:

für alle

n

aus

N : a_{n} < r \leq m

(nach unserer Annahme)

m

muss sicherlich deutlich größer als 2 oder 3 sein
(die Aussage verwende ich später)

Da die Beziehung für alle

n

aus

N

gilt, gilt sie auch für unser

m

.

Also ist auch

a_{m} \leq m

Das schauen wir uns nun genauer an:

a_{m} \leq m

\Leftrightarrow

m²

- m \leq m

(denn

a_{m} = m^{2} - m;

so ist die Folge ja definiert)

\Leftrightarrow m (m - 1) \leq m

\Leftrightarrow m - 1 \leq 1

\Leftrightarrow m \leq 2

Also nur für

m = 1

und

m = 2,

also nur für die ersten beiden Folgenglieder

a_{1}

und

a_{2},

ist

a_{m} \leq m

m

kann also keine obere Schranke für alle Folgenglieder sein.
(einfaches Beispiel: denn

a_{3} = 9 - 3 = 6

ist schon größer als

2)

.

Wir haben also einen Widerspruch. Unsere Annahme kann daher nicht gültig sein,

d . h

. es kann keine obere Schranke geben.

Das war jetzt recht ausführlich. Hast Du die Beweisidee nun nachvollziehen können?

herbert1 aktiv_icon

19:57 Uhr, 18.09.2013

Hallo Sven,

hier noch ein paar Anregungen für die Aufgabe

b)

a_{n} = {(- 2)}^{n}

Wenn diese Folge nach oben bzw. unten beschränkt sein soll, so muss gelten:

es gibt ein

s

aus

R

bzw. ein

t

aus

R

mit

a_{n} < s

für alle

n

(a_{n}

wäre nach oben beschränkt)

bzw.

t < a_{n}

für alle

n

(a_{n}

wäre nach unten beschränkt)

Wenn

a_{n}

beschränkt ist, dann ist auch jede Teilfolge von

a_{n}

beschränkt.

Da für alle geraden natürlichen Zahlen gilt:

a_{n} > 0

und für alle ungeraden natürlichen Zahlen gilt:

a_{n} < 0

so bietet es sich an, bestimmte Teilfolgen zu betrachten:

Beispiel:

Teilfolge

a_{2 n} = {(- 2)}^{2 n}

und

Teilfolge

a_{2 n - 1} = {(- 2)}^{2 n - 1}

kommst Du mit diesem Ansatz weiter..?

toastbeer aktiv_icon

13:40 Uhr, 19.09.2013

Hallo Herbert!

Also so wie ich dich verstanden habe, habe ich die Teilfolgen mal näher angesehen:

Teilfolge 1:

a_{2} n > 0

\Leftrightarrow {(- 2)}^{2} n > 0 |

(nach Potenzgesetz)

\Leftrightarrow {(- 2)}^{2} \cdot {(- 2)}^{n} > 0

\Leftrightarrow 4 \cdot {(- 2)}^{n} > 0 | \cdot \frac{1}{4}

\Leftrightarrow {(- 2)}^{n} > 0

Diese Aussage ist falsch, da

n = 1 z . B

- 2 > 0

ergibt.

Teilfolge 2:

a_{2} n - 1 < 0

\Leftrightarrow {(- 2)}^{2} n - 1 < 0 |

(nach Potenzgesetz)

\Leftrightarrow {(- 2)}^{2} n \cdot {(- 2)}^{- 1} < 0

\Leftrightarrow {(- 2)}^{2} n \cdot (- \frac{1}{2}) < 0 | \cdot (- 2) . .

. Ungleichungszeichen dreht sich um

\Leftrightarrow {(- 2)}^{2} n > 0 |

siehe Teilfolge 1

Kann man nun sagen, dass sich daraus die Unbeschränktheit von Folge

b)

ergibt?

Und noch eine Frage zu Folge

a),

du hattest geprüft ob sie nach oben beschränkt ist, da sie streng monoton wachsend ist. Nach unten muss sie nicht geprüft werden?

Vielen Dank schonmal für deine Mühe!

Gruß

Sven

herbert1 aktiv_icon

14:15 Uhr, 19.09.2013

Hallo Sven,

setze bitte zunächst einmal die Potenzen und die Indizes in Klammern, dann werden die Terme besser lesbar.

Als nächstes möchte ich Dir empfehlen, für

n = 1,2,3,4, .

.
die konkreten Werte für die Teilfolgen

a_{2 n}

bzw.

a_{2 n - 1}

auszurechnen.

Kleine Tabelle mit den entsprechenden Spalten.

Dann ein Blick in die Potenzgesetze:

wie kannst du

x^{2 n}

nach den Potenzgesetzen anders ausdrücken?

Es gilt nicht:

x^{2 n} = x^{2} x^{n}!!

Die Lösungen sind dann eigentlich recht einfach.
Ich denke, Du kommst darauf, wenn Du wie oben empfohlen konkrete Werte für

n

einsetzt und
die Potenzgesetze korrekt anwendest.

Zu Deiner Zusatzfrage zu

a)

a_{n}

streng monoton wachsend ist, ist

a_{1}

das kleinste Folgenglied.
Kleinere Werte gibt es nicht, die Folge ist also auch nach unten beschränkt.

toastbeer aktiv_icon

14:28 Uhr, 20.09.2013

Also, hier mal die Tabelle der Folgeglieder:

Für die ersten fünf Folgeglieder:

a_{2 n} = 4; 8; 12; 16; 20 (

streng monoton wachsend)

a_{2 n - 1} = - 2; - 8; - 32; - 128; - 512

(streng monoton fallend)

Teilfolge 1:

a_{2 n} > 0

\Leftrightarrow {(- 2)}^{2 n} > 0 |

(Potenzgesetz)

\Leftrightarrow {({(- 2)}^{2})}^{n} > 0

\Leftrightarrow {(4)}^{n} > 0

Die Aussage ist wahr, da das kleinste

n a_{1} 4 > 0

ergibt. Somit ist sie für alle

n

erfüllt.

Teilfolge 2:

a_{2 n - 1} < 0

\Leftrightarrow {(- 2)}^{2 n - 1} < 0 |

(Potenzgesetz)

\Leftrightarrow \frac{{(- 2)}^{2 n}}{{(- 2)}^{1}} < 0 | \cdot (- 2)

(Ungleichungszeichen dreht sich)

\Leftrightarrow {(- 2)}^{2 n} > 0 |

siehe Teilfolge 1

Sind wir nun auf dem richtigen Weg Herbert?

herbert1 aktiv_icon

14:54 Uhr, 20.09.2013

Hallo toastbeer,

gut erkannt:

a_{2 n}

ist streng monoton wachsend
und

a_{2 n - 1}

ist streng monoton fallend.

Über den Ansatz

a_{2} > 0

oder

a_{2 n - 1} < 0

kann man aber keine Aussage über die Beschränkheit erhalten.

Zu Deinem Ergebnis:
Du erhälst "wahre" Aussagen, die Ungleichungen sind also richtig.

Streng monotone Folgen können, müssen aber nicht beschränkt sein.

Bevor ich darauf eingehe, zunächst ein Hinweis zu Deiner Umformung der 2. Teilfolge.

Es gilt auch:

{(- 2)}^{2 n - 1} = {(- 1)}^{2 n - 1} {(2)}^{2 n - 1} = - 2^{2 n - 1}

also alle Glieder der Teilfolge sind negativ
(Dein Ergebnis sagt das auch, aber ich wollte auf die Möglichkeit der "anderen" Umformung hinweisen.)

Zur Beschränktheit:

Teilfolge

a_{2 n} = 2^{2 n}

Kann es hier eine obere Schranke geben?

d . h

. gibt es ein ("festes")

r

aus

R,

so dass für alle

n

aus

N

gilt:

2^{2 n} < r

?

Analoges gilt für die Teilfolge:

a_{2 n - 1} = - 2^{2 n - 1}

Auch hier kann es kein ("festes")

s

aus

R

geben, so dass für alle

n

aus

N

gilt

s < - 2^{2 n - 1}

Jetzt weiß ich nicht, was Ihr an Kenntnissen voraussetzen dürft, um den letzten kleinen Schritt im Beweis zu tun..

Wenn

z . B

. die Teilfolgen beschränkt wären, dann wäre auch die
Funktion

f (x) = 2^{x}

beschränkt. Diese hat aber für

x

gegen minus unendlich bzw.

x

gegen plus unendlich keine Schranken...

herbert1 aktiv_icon

15:06 Uhr, 20.09.2013

Hallo toastbeer,

ich habe den Eindruck, dass es noch ein paar Unsicherheiten mit dem Begriff der Beschränktheit gibt...

Mit dem Vergleich zweier benachbarter Folgenglieder kannst Du nur feststellen, ob eine Folge oder eine Teilfolge

(s . u .)

streng monton ist.

Ist eine Folge oder Teilfolge streng monton wachsend, dann hat sie natürlich eine untere Schranke, ist also nach unten beschränkt.
Diese Schranke bildet das kleinste, also das erste Element dieser Folge bzw. Teilfoge,
denn alle anderen Folgenglieder sind ja dann größer.

Für den Nachweis, dass eine Folge beschränkt ist, reicht der Vergleich nie aus.
Hier brauchst Du andere Kriterien.

Wie ich Dir zeigen wollte, orientiert man sich dann sehr an der Definition:

...es gibt ein

r

aus

R,

so dass für alle

a_{n}

gilt:

a_{n} \leq r

.

Auch in vielen anderen Beweisen der Mathematik ist es notwendig, sehr genau mit den Definitionen zu arbeiten.

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