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Folgerungen aus dem Majorantenkriterium

Universität / Fachhochschule

Tags: Folgerung, Kriterium, Majorante, Monotonie, reih

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01:32 Uhr, 03.06.2024

Hallo,

die Aufgabe mit der ich mich beschäftige und Ansätze sind auf den Bildern zu sehen.

Ich habe eine Frage bezüglich der

i),

unzwar bin ich mir unsicher, ob ich das Abschätzen im letzten Schritt richtig gemacht habe, da

a_{n}

ja eine monoton fallende Folge ist. Dementsprechend wäre eigentlich

a_{k} > a_{2^{k}}

und somit meine Abschätzung falsch oder nicht? Jedoch wüsste ich nicht wie ich sonst zeigen dass die 2. Reihe eine Majorante der ersten Reihe ist.

Bei der ii) würde ich gerne wissen, ob ich alle Fälle korrekt betrachtet habe.

Ich danke für jede Hilfe im Voraus

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Monotonieverhalten (Mathematischer Grundbegriff)

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

HAL9000

08:44 Uhr, 03.06.2024

Zu (i) Die Formulierung "müssen wir zeigen" ist nicht angebracht - es ist "hinreichend zu zeigen" wäre passender.

Beim zweiten Teil fehlt ein Nebensatz: Wir müssen zeigen, dass

\sum_{k = 1}^{\infty} 2^{k} a_{2^{k}}

konvergiert, wenn wir voraussetzen dass

\sum_{k = 1}^{\infty} a_{k}

konvergiert.

Von den ganzen Details des Formelkrimskrams abgesehen geht es doch um folgendes: Aus der Monotonie der Folge bekommt man

a_{2} \leq a_{2} \leq a_{1}

2 a_{4} \leq a_{3} + a_{4} \leq 2 a_{2}

4 a_{8} \leq a_{5} + a_{6} + a_{7} + a_{8} \leq 4 a_{4}

usw., allgemein:

2^{k} a_{2^{k + 1}} \leq \sum_{n = 2^{k} + 1}^{2^{k + 1}} a_{n} \leq 2^{k} a_{2^{k}}

Durch Summation über

k

ergibt die linke Ungleichung den Teil

\Rightarrow

und die rechte dann

\Leftarrow

der Behauptung.

Das Quotientenkriterium hat hier überhaupt nichts zu suchen: Weder bei Hin- noch bei Rückrichtung ist klar, ob die vorausgesetzte Konvergenz der beteiligten Reihe auf dem (ja nur hinreichenden) Quotientenkriterium beruht. Es geht also nur um das Majorantenkriterium.

Zu (ii) Ich hab keine Ahnung, was du da überhaupt rechnest. Tatsächlich geht es um

\sum_{k = 1}^{\infty} a_{k}

mit

a_{k} = \frac{1}{k^{q}}

. D.h., eingesetzt bekommen wir dann

a_{2^{k}} = \frac{1}{{(2^{k})}^{q}} = \frac{1}{2^{k q}}

bzw. damit dann

\sum_{k = 1}^{\infty} 2^{k} a_{2^{k}} = \sum_{k = 1}^{\infty} \frac{2^{k}}{2^{k q}} = \sum_{k = 1}^{\infty} 2^{(1 - q) k}

.

Das ist eine geometrische Reihe

\sum_{k = 1}^{\infty} t^{k}

mit

t = 2^{1 - q}

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.

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