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Formale Aussagen

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ellobo1987 aktiv_icon

21:25 Uhr, 09.10.2010

Hallo Leute!

Wir haben folgende Problemstellung bekommen.

Formulieren Sie die folgenden Aussagen und deren Verneinung in formaler Schreibweise unter Verwendung von Quantoren:
a.) Jede reelle Zahl ist höchstens so groß wie ihr Quadrat
b.) Es gibt eine größte negative reelle Zahl
c.) Zwischen je zwei natürlichen Zahlen liegt eine reelle Zahl.

b und c konnte ich bereits lösen, bin mir aber nicht sicher ob alles korrekt ist.

b.)

\exists x \in ℝ^{-} \forall y \in ℝ^{-} : A (x > y)

Verneinung:

\forall x \in ℝ^{-} \exists y \in ℝ^{-} : A (x < y)

oder auch: Zu jeder negativen reellen Zahl gib es eine negativ reelle Zahl, die kleiner ist.

c.)

\forall n \in ℕ \exists x \in ℝ : A (n < x < n)

Verneinung:

\exists n \in ℕ \forall x \in ℝ : A (x < n < x)

oder auch: Zwischen je zwei reellen Zahlen liegt eine natürliche Zahl.

Bei c bin ich mir sehr unsicher...

Was a betrifft brauche ich eure Hilfe. Mich verwirrt "höchstens so groß wie ihr Quadrat". Habe überhaupt keinen Plan wie man diese Aussage mit Hilfe von Quantoren aufstellt.

Danke für eure Hilfe im Voraus!

Lg

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

QPhma aktiv_icon

00:35 Uhr, 10.10.2010

Hallo,

b)

ist richtig, zumindest die Schreibweise mit den Quantoren. Die verbale Form der Verneinung der Aussage ist nicht richtig. Ganz direkt lautet die negierte Aussage: "Es gibt keine größte negative reelle Zahl." Das kann man umformulieren in "Zu jeder negativen reellen Zahl gibt es eine andere negative reelle Zahl, die noch größer ist."

Bei

c)

ist die Rede von zwei natürlichen Zahlen. Das muss auch in der formalen Schreibweise auftauchen:

\forall m, n \in ℕ

mit

m < n \exists x \in ℝ : m < x < n

.
Eine alternative Schreibweise wäre:

\forall m, n \in ℕ

mit

m < n : ℝ \cap] m, n [\neq \emptyset

Entsprechend die Negation. Schaffst Du das?

a)

ist eigentlich ganz einfach. Die Aussage "Eine Zahl

x

ist höchstens so groß wie ihr Quadrat" kann man formal schreiben als

x \leq x^{2}

. Davor musst Du nur den Quantor setzen.

ellobo1987 aktiv_icon

07:53 Uhr, 10.10.2010

Hallo!

Danke für die Antwort.

Bei b.) war ich mir bei der Negation auch unsicher ob ich jetzt "größer" oder "kleiner" schreiben sollte. Aber mit deiner Erklärung ist es jetzt sonnenklar :-).

Was c.) betrifft bin ich auf folgendes Ergebnis gekommen:

\forall x, y \in ℝ

mit x<y

\exists n \in ℕ : x < n < y

In Worten: Zwischen zwei reellen Zahlen liegt eine natürliche Zahl. Stimmt das?

a.)

\forall x \in ℝ : x \leq x^{2}

In Worte:
Jede reelle Zahl ist höchstens so groß wie ihr Quadat.
Negation:

\exists x \in ℕ : x \geq x^{2}

In Worten: Eine reelle Zahl ist mindestens so groß wie ihr Quadrat.

Lg Mani

QPhma aktiv_icon

23:47 Uhr, 10.10.2010

Hallo Mani,

bei

c)

würde ich die Negation in verbaler Form so ausdrüchen:
"Es gibt zwei natürlichen Zahlen, zwischen denen keine reelle Zahl liegt."
In Deiner Formulierung vertauscht Du die Rolle der Zahlmengen. Das ist zwar im gewissen Sinne eine Spiegelung der Aussage, aber keine Verneinung.

Bei

a)

lautet die Negation:
"Es gibt eine reelle Zahl, die größer ist als ihr Quadrat."
Die Formulierung "Eine reelle Zahl ist

. .

. " würde man immer so verstehen, dass die nachfolgende Aussage für jede reelle Zahl gilt.

Die formalen Schreibweise hast Du schon fast richtig. Nur muss es

x \in ℝ

heißen anstatt

x \in ℕ

und das Gleichheitszeichen darf in der Relation nicht mehr stehen.

Gruß

QPhma

ellobo1987 aktiv_icon

12:05 Uhr, 11.10.2010

Hallo!

Danke für deine schnelle Antwort!
Das bei b.) ist wirklich logisch. Am einfachsten ist es wirklich, dass man bei solchen Problemstellungen zuerst die verbale Negation durchführt und erst dann die formale Form bildet.
Dies wäre jetzt mein Ergebnis für die Negation von b.):

\exists m, n \in N

mit m<n

\forall x \in R : m < n

Im Prinzip müsst das stimmen?
Lg

hagman aktiv_icon

12:49 Uhr, 11.10.2010

Übrigens heisst "

x

ist die größte negative reelle Zahl" unmgesetzt nicht

\forall y \in ℝ^{- :} x > y

sondern

\forall y \in ℝ^{- :} x \geq y

(beides unter der Voraussetzung, dass

x \in ℝ^{-}

gegeben ist, was hier duch

\forall x \in ℝ^{-}

der Fall ist)

ellobo1987 aktiv_icon

13:28 Uhr, 11.10.2010

Hallo!

Ich verstehe jetzt nicht was du meinst. Ich habe b.) ganz anders vormuliert.

\exists x \in R^{-} \forall y \in R^{-} : A (x > y)

Was ist daran falsch? Klingt doch ganz logisch.

Lg

Stephan89 aktiv_icon

14:47 Uhr, 11.10.2010

Hi!

Wichtig ist, dass du exakt formulierst, was du aussagen möchtest... Bei Deiner Version wird leider nicht eindeutig klar, dass $x$ die größte neg. $R . Z$ . ist und ALLE anderen kleiner sind...

Meine Version: (∃x∈R-)(∀y∈R-): $y < x$
Heißt also "Es existiert ein Element $x$ ?R-" "Alle $y$ ?R-": $y < x$
Wichtig ist hier das ∀ für das $y,$ da es sich ja um alle anderen negativen Reellen Zahlen handelt, das $x$ ist die Ausnahme, daher nur "eines"!

Ich hoffe, das hat geholfen!

LG, Stephan

QPhma aktiv_icon

23:05 Uhr, 11.10.2010

Hallo,

@Stephan89: Mir ist nicht klar, worauf Deine Kritik abzielt. Deine formale Schreibweise ist doch die selbe wie die von ellobo. Der einzige Unterschied besteht darin, dass Du

y < x

schreibst, anstatt

x > y

. Aber das ist doch egal, wie man das schreibt. Die Aussage bleibt die gleiche.

Wichtig ist die Bemerkung von hagman. Man muss tatsächlich

x \geq y

heißen und nicht

x > y,

wenn man sagen will, dass

x

die größte negative reelle Zahl ist. Denn das heißt ja, es gibt keine größere, aber durchaus gleichgroße Zahlen (denn

x

ist in

\forall y \in ℝ^{-}

auch enthalten)

@ ellobo: Deine Negation für

c)

stimmt noch nicht ganz. Die Aussage, dass zwischen den natürlichen Zahlen

m

und

n

keine reelle Zahl liegen soll, musst Du anders schreiben. In Analogie zu der Schreibweise bei der Originalaussage geht das wohl nicht. Ich sehe zwei Möglichkeiten: entweder

\forall x \in ℝ : x \notin] m, n [

oder

ℝ \cap] m, n [= \emptyset

Gruß

QPhma

ellobo1987 aktiv_icon

09:36 Uhr, 12.10.2010

Hallo Leute!

Ich möchte euch noch einmal für eure Hilfe danken! Hat mir wirklich sehr geholfen.

Was die Ergebnisse betrifft:

a.)
Jede reelle Zahl ist höchstens so groß wie ihr Quadrat:

\forall x \in R : x \leq x^{2}

Es gibt eine reelle Zahl, die größer ist als ihr Quadrat:

\exists x \in R : x > x^{2}

b.)
Es gibt eine größte negative reelle Zahl:

\exists x \in R^{-} \forall y \in R^{-} : x > y

Es gibt eine größte negative reelle Zahl:

\forall x \in R^{-} \exists y \in R^{-} : x < y

c.)
Zwischen je zwei natürlichen Zahlen liegt eine reelle:

\forall m, n \in N

mit m<n

\exists x \in R : m < x < n

Es gibt zwei natürliche Zahlen, zwischen denen keine reelle liegt:

\forall x \in R : x] m, n [

Danke noch einmal.

Lg Mani

Stephan89 aktiv_icon

11:21 Uhr, 12.10.2010

@QPhma: Ich habe ganz normal übersehen, dass er den Ausdruck eigentlich eh gleich geschrieben hatte... ;-)
LG, Stephan

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