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Formeln umstellen

Schüler

Tags: ausführlich, Kehrwert, Lösungsweg

Sailor

21:38 Uhr, 28.02.2015

Habe ein Problem und zwar, zwei Gleichungen.

Brauche den Lösungsweg. Obwohl ich die Lösung habe,komme ich nicht auf das Ergebnis.
Irgendwo ist da noch ein Trick der mir nicht einfällt.

Es geht um folgende Gleichungen:

1. 2a= 1/x - 1/b aufgelöst nach x.

2. c = a-b/ab. aufgelöst nach c

Bitte Lösungsweg mit Erläuterungen.

Hat das was mit dem Kehrwert zu tun?

Vorab schon mal danke.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

anonymous

21:44 Uhr, 28.02.2015

Bei 2. ist doch bereits nach

c

aufgelöst!

Und 1. hat ganz grob mit Kehrwerten zu tun. Zunächst solltest du versuchen das

x

möglichst alleine stehend zu bekommen. Dazu solltest du das

- \frac{1}{b}

auf die andere Seite schubsen. Wie könnte man das denn bewerkstelligen?
Danach hast du noch

\frac{1}{x}

auf der rechten Seite stehen. Denke hierbei an die Kehrwertbildung.

Sailor

21:52 Uhr, 28.02.2015

Bin schon ganz dämlich.

Sorry habe mich eben erst angemeldet und muss noch ein wenig mit der Funktion auf dieser Website klarkommen.

Die zweite Forml wir nach a aufgelöst.

Erste Formel

Ok ich nehme an wenn ich -1/b habe kann ich die wohl mit +1/b auf die andere Seite schubsen.

Sailor

23:01 Uhr, 28.02.2015

Ok habs verstanden

2a=1/x-1/b +1/b

2a/1+1/b=1/x aus 2a mach ich einen Bruch 2a/1

Jetzt muss ich noch die Brücke links subtrahieren und den Kehrwert von x bilden und
tatsächlich das Ergebnis der Lösung kommt heraus.

Danke für den Denkansatz.

Sailor

23:03 Uhr, 28.02.2015

anonymous

23:07 Uhr, 28.02.2015

Ok. Kann es sein, dass bei der zweiten Formel eigentlich

c = \frac{a - b}{a b}

stehen sollte? Sonst könnte man ja zunächst bei

a - \frac{b}{a b}

ein

b

kürzen, so dass man noch

a - \frac{1}{a}

hätte.

Im Fall

c = \frac{a - b}{a b}

könnte man mit

a \cdot b

multiplizieren, um

a b c = a - b

zu erhalten.

Im Fall

c = a - \frac{b}{a b} = a - \frac{1}{a}

könnte man mit

a

multiplizieren, um

a c = a^{2} - 1

zu erhqlten, und müsste dann eine quadratische Gleichung lösen.

Sailor

12:18 Uhr, 03.03.2015

Servus

also die Formel lautet c= a-b/ab

die Lösung ist c= b/1-cb.

c=a-b/ab das ganze\ x ab

abc= a-b
so weit so gut

aber wie kommt in der Lösung das 1-cb zustande.
Woher kommt die 1.
Das ist was ich nicht verstehe.

Wie kann aus einer Variablen die +1; oder -1 werden.

Damit tue ich mich schwer. Und ich habe in meinen Unterlagen noch keine Erklärung gefunden wo das richtig beschrieben wäre um es nachzuvollziehen.

Genauso wie in der ersten Gleichung b/2ab+1 heruaus kommt.
Ich hab einfach noch zu wenig Übung um die ganzen Tricks und Kniffe anzuwenden.

Danke schon im Vorraus

anonymous

13:25 Uhr, 03.03.2015

Die 1 kommt daher, da 1 das neutrale Element der Multiplikation ist:

a = a \cdot 1

Nehmen wir nochmal die zweite Gleichung:

c = \frac{a - b}{a b}

(Wenn die

a - b

im Zähler stehen sollen, solltest du bei der Eingabe eine Klammer darum machen, sonst hat der Bruchstrich Priorität. Denke an die Regel: Punkt-vor-Strich.
Dementsprechend musst du dann "(a-b)/(a b)" eingeben.)

Dies wird durch Multiplikation mit

a b

zu:

a b c = a - b

Nun sollte man nach der Variablen sortieren, nach der wir auflösen wollen. Also alles mit a nach rechts, alles ohne a nach links:

b = a - a b c

Nun haben wir mehrere Summanden mit

a

. Wir wollen nur noch ein a haben, was wir dadurch erreichen, dass wir ein a ausklammern. Was bleibt dann von dem

a

in der Klammer übrig? Naja, wegen

a = a \cdot 1

bleibt davon noch eine 1 übrig. Von

a b c

bleibt noch

b c

in der Klammer.

b = a \cdot 1 - a b c

b = a \cdot (1 - b c)

(Ist jetzt klar, woher die 1 kommt?)
Nun schubsen wir noch das

(1 - b c)

rüber:

\frac{b}{1 - b c} = a

- - - -

Und bei der ersten Gleichung kommt die 1 vom Zähler von

\frac{1}{b}

2 a = \frac{1}{x} - \frac{1}{b}

Wieder alles mit

x

auf einer Seite lassen (ich nehme wieder die rechte), alles ohne

x

auf die andere:

2 a + \frac{1}{b} = \frac{1}{x}

Um Brüche addieren zu können, sollte man sie zunächst auf einen gleichen Nenner bringen. Also wird

2 a

mit

b

erweitert:

\frac{2 a b}{b} + \frac{1}{b} = \frac{1}{x}

\frac{2 a b + 1}{b} = \frac{1}{x}

Kehrwert bilden:

\frac{b}{2 a b + 1} = x

- - - -

Alternativ kann man analog wie bei der zweiten Gleichung auch hier zunächst die Brüche entfernen, indem man mit den Nennern durchmultipliziert, wenn dir das einfacher fällt.

2 a = \frac{1}{x} - \frac{1}{b}

Mit

b

durchmultiplizieren:

2 a b = \frac{b}{x} - 1

Mit

x

durchmultiplizieren:

2 a b x = b - x

Nach der Varaiblen

x

sortieren, nach der man auflösen möchte:

2 a b x + x = b

x

in mehreren Summanden vorhanden ist, wird

x

ausgeklammert:

2 a b \cdot x + 1 \cdot x = b

(2 a b + 1) \cdot x = b

Alles was nicht

x

ist rüberschubsen:

x = \frac{b}{2 a b + 1}

Erfahrungsgemäß klappt diese Methode bei einfachen (Bruch-)Gleichungen dieser Art meistens:
- Mit Nennern durchmultiplizieren.
- Nach Variable sortieren.
- Wenn in mehreren Summanden vorhanden: Variable ausklammern.
- Rest, was nicht Variable ist, auf die andere Seite schubsen.

Sailor

21:03 Uhr, 03.03.2015

Ok. Mehr als vielen Dank

Das war sehr gut erklärt.
Ich konnte es nachvollziehen. Hab es gleich nochmal nachgerechnet.

Die Regeln an sich kenne ich nur ich sehe es einfach nicht, wann ich was anwenden muss.

Das mit der 1 die plötzlich auftaucht habe ich jetzt verstanden.

Ich brauche dieses neutrale Element immer dann wenn ich eine einzelne Variable stehen habe, damit ich beim Faktorisieren diesen Platz anzeige.

Wenn ich die ausgeklammerte größe wieder in die Klammer multipliziere kann ich sie über die neutrale 1 wieder einfügen und der Ausdruck wird nicht verfälscht.

Habe ich das so richtig verstanden?

Also nochmals vielen dank. Ich hoffe das ich bald meine Mathe Ahnungslosigkeit überwunden habe.

anonymous

21:09 Uhr, 03.03.2015

Ja, genau so kann man das mit der 1 hier sehen. Ich denke, dass du das richtig verstanden hast.

Sailor

21:32 Uhr, 03.03.2015

Gut dann mache ich mich an die nächsten Aufgaben.

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