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Fourier-Reihe |sin(x)|

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Folgen und Reihen

Funktionenreihen

Integration

Tags: Folgen und Reihen, Fourier-Reihenentwicklung, Funktionenreihen, Integration

Nick-Cave aktiv_icon

02:19 Uhr, 01.06.2014

Hallo zusammen,

ich beschäftige mich grade mit Fourier-Reihenentwicklung und bräuchte einen kleinen Stupser bei dieser Aufgabe:

Bestimmen Sie die Fourier-Reihe der Funktion

∣ s i n (x) ∣

.

Mein bisheriger Ansatz ist:

T = π,

∣ s i n (x) ∣

π

-periodisch ist.

ω = \frac{2 π}{π} = 2

a_{k} = \frac{2}{T} \int_{0}^{π} f (x) \cdot c o s (k ω x) d x

b_{k} = \frac{2}{T} \int_{0}^{π} f (x) \cdot s i n (k ω x) d x

a_{0} = \frac{2}{π} \int_{0}^{π} ∣ s i n (x) ∣ \cdot c o s (0 \cdot 2 x) d x

Dann kann ich ich ja die Betragsstriche weglassen, da der

s i n (x)

von

0

bis

π

sowieso positiv ist, oder?

a_{0} = \frac{2}{π} [- c o s (x)]_{0}^{π} = \frac{2}{π} (- (- 1) - 1) = \frac{2}{π} \cdot 0 = 0

a_{k}

und

b_{k}

bereiten mir Probleme, da ich ich hier auf die folgenden Integrale komme die ich so nicht einfach lösen kann:

a_{k} = \frac{2}{π} \int_{0}^{π} s i n (x) \cdot c o s (2 k x) d x

b_{k} = \frac{2}{π} \int_{0}^{π} s i n (x) \cdot s i n (2 k x) d x

Liebe Grüße

Nick :-)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

anonymous

10:01 Uhr, 01.06.2014

Hallo

a)

a_{0}

fängst du sehr gut an. Aber ein kleiner Anfängerfehler führt zum offensichtlich falschen Ergebnis.
Richtig war's bis:

a_{0} = \frac{2}{π} \cdot {[- cos (x)]}_{0}^{π}

b)

Tip:
Die

| sin (x) | -

Funktion ist eine GERADE Funktion.
Na, klingelt es?

c)

Den Ansatz für die

a_{k}, b_{k} -

Koeffizienten hast du ja niedergeschrieben.
Ja, da der sin im betrachteten Intervall positiv ist, kannst du die Betragszeichen weglassen.
Wenn ich dich recht verstehe, hast du nur Problemchen das Integral zu lösen. Solche Integrale

>

stehen eigentlich in guten Integral-Tabellen,

>

oder lassen sich durch zweimalige Produktintegration lösen.

\int sin (x) \cdot cos (2 \cdot k \cdot x) \cdot d x = \frac{2 \cdot k \cdot sin (x) \cdot sin (2 \cdot k \cdot x) + cos (x) \cdot cos (2 \cdot k \cdot x)}{4 \cdot k^{2} - 1}

Nick-Cave aktiv_icon

18:09 Uhr, 01.06.2014

Danke!

a)

Natürlich habe ich mich verrechnet und eigentlich kommen

a_{0} = \frac{4}{π}

raus.

c)

Habe das Integral mit den Additionstheoremen hergeleitet und kam dann auf:

a_{k} = \frac{1}{π} \cdot \int_{0}^{π} s i n ((1 + 2 k) x) + s i n ((1 - 2 k) x) d x

a_{k} = - \frac{1}{π} \cdot [\frac{c o s ((1 + 2 k) c)}{1 + 2 k} + \frac{c o s ((1 - 2 k) x)}{1 - 2 k}]_{0}^{π}

das habe ich dann mit den Additionstheoremen wieder umgeformt damit ich nur Kombinationen von

s i n / c o s (x)

und

s i n / c o s (2 k x)

dastehen habe und sich das ja dann mit den Werten

0

und

π

gut ausrechnen lässt:

a_{k} = - \frac{1}{π} \cdot [\frac{c o s (x) \cdot c o s (2 k x) - s i n (x) \cdot s i n (2 k x)}{1 + 2 k} + \frac{c o s (x) \cdot c o s (2 k x) + s i n (x) \cdot s i n (2 k x)}{1 - 2 k}]_{0}^{π}

Hier habe ich dann eingesetzt und kam im Endeffekt auf:

a_{k} = - \frac{1}{π} (- \frac{1}{1 + 2 k} - \frac{1}{1 + 2 k} - (\frac{1}{1 - 2 k} + \frac{1}{1 - 2 k}))

a_{k} = \frac{1}{π} (\frac{2 (1 - 2 k) + 2 (1 + 2 k)}{(1 + 2 k) \cdot (1 - 2 k)})

a_{k} = \frac{1}{π} (\frac{4}{1 - 4 k^{2}})

a_{k} = \frac{4}{π - 4 k^{2} π}

Stimmt das soweit?

b_{k}

würde ich dann analog berechen

Danke nochmal!

Analysis4ever

18:48 Uhr, 01.06.2014

bk ist

0,

da es eine gerade funktion ist

Nick-Cave aktiv_icon

20:44 Uhr, 01.06.2014

Danke gut zu wissen!

Was wäre denn eine ungerade Funktion?

Und stimmt mein Ergebnis für

a_{k}

?

LG

Nick

anonymous

21:42 Uhr, 01.06.2014

Für gerade Funktionen gilt:

f (x) = f (- x)

Gerade Funktionen sind symmetrisch zur y-Achse.

Für ungerade Funktionen gilt:

f (x) = - f (- x)

Ungerade Funktionen sind punkt-symmetrisch zum Koordinatenursprung.

Das ganze ist auch sehr gut beschrieben unter:
http//de.wikipedia.org/wiki/Gerade_Funktion

Deine Koeffizienten

a_{k}

sehen auf den ersten Blick gut aus. Ich habe sie aber nicht im Detail nachgerechnet.

anonymous

12:57 Uhr, 02.06.2014

PS: Die Koeffizienten

a_{k}

stimmen.
:-)

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