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Frage zu Geogebra: n-Eck mit konst. Flächeninhalt

Schüler Gymnasium, 12. Klassenstufe

Tags: GeoGebra, n-Eck

ameliewe aktiv_icon

17:20 Uhr, 11.10.2017

Hallo zusammen, ich hoffe, ich finde hier jemand, der sich ein bisschen besser mit GeoGebra auskennt, als ich (das dürfte eigentlich nicht so schwer sein)
Ich würde gerne ein Dokument erstellen, auf dem man ein n-Eck sieht, das man mithilfe eines Reglers für

n

beliebig verstellen kann. Dennoch soll es immer einen bestimmten/ konstanten Flächeninhalt haben. Dazu hätte ich gerne Anzeige

o

.Ä., die immer zeigt, wie groß der Umfang im moment ist. Anhand dieser Abbildung möchte ich qualitativ erklären können, dass je mehr sich ein n-Eck einem Kreis annähert, desto idealer/kleiner ist der Umfang (natürlich alle bei konstantem Flächeninhalt).
Bis jetzt bin ich so weit, dass ich ein n-Eck erstellt habe, das auch einen Regler für

n

hat. Verändere ich

n

aber, fügt sich einfach nur eine Seitenlänge hinzu, wenn ich das so nenn darf,

d . h .,

dass die Vielecke bei

n

Richtung unendlich immer größer werden.
Wie kann ich bei Geogebra den Flächeninhalt konstant setzten und wie füge ich diese anzeige für den Umfang ein?
Ich hoffe, ich habe das zufriedenstellend erklärt und jemand kann mir helfen.
Vielen Dank schonmal!!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

mihisu aktiv_icon

18:29 Uhr, 11.10.2017

Schau mal hier:
ggbm.at/QCyKjVjc

Sowas in der Art?

\\\\

Ich würde das wohl so machen: (Und so habe ich das auch im verlinkten GeoGebra-Applet ralisiert.)

Die Fläche eines regelmäßigen

n

-Ecks kann man in

n

Dreiecksflächenunterteilen, indem man vom Mittelpunkt (Schwerpunkt des Vielecks) aus Strecken zu den Eckpunkten zeichnet.
Den Abstand Mittelpunkt zu Eckpunkt bezeichne ich mit

r

.

Dann gilt für den Flächeninhalt

A_{1}

einer Dreiecksfläche:

A_{1} = \frac{1}{2} \cdot r \cdot r \cdot sin (\frac{2 π}{n}) = \frac{1}{2} \cdot r^{2} \cdot sin (\frac{2 π}{n})

bzw.

A_{1} = \frac{1}{2} \cdot r^{2} \cdot sin (\frac{360^{\circ}}{n})

Für den Flächeninhalt

A

des Vielecks gilt dann:

A = n \cdot A_{1} = n \cdot \frac{1}{2} \cdot r^{2} \cdot sin (\frac{2 π}{n}) = \frac{n}{2} \cdot r^{2} \cdot sin (\frac{2 π}{n})

bzw.

A = \frac{n}{2} \cdot r^{2} \cdot sin (\frac{360^{\circ}}{n})

Daher erhält man bei gegebenen Werten für

A

und

n

jeweils:

r = \sqrt{\frac{2 \cdot A}{n \cdot sin (\frac{2 π}{n})}}

bzw.

r = \sqrt{\frac{2 \cdot A}{n \cdot sin (\frac{360^{\circ}}{n})}}

Die Eckpunkte des Vielecks liegen dann, falls man den Mittelpunkt/Schwerpunkt bei

(0 | 0)

wählt, bei

(r \cdot cos (\frac{k}{n} \cdot 2 π) | r \cdot sin (\frac{k}{n} \cdot 2 π))

bzw.

(r \cdot cos (\frac{k}{n} \cdot 360^{\circ}) | r \cdot sin (\frac{k}{n} \cdot 360^{\circ}))

für

k \in {0, 1, 2, ..., n - 1}

.

\\\\

Demnach würde ich also folgendermaßen Vorgehen, bzw. bin so vorgegangen:

Schieberegler für

n

(Anzahl der Ecken) erstellen.

Den Flächeninhalt

A

festlegen, oder ein entsprechendes Eingabefeld erstellen.

Setze

r = \sqrt{\frac{2 \cdot A}{n \cdot sin (\frac{2 π}{n})}}

.

Erstelle eine Liste

L

der Eckpunkte

(r \cdot cos (\frac{k}{n} \cdot 2 π) | r \cdot sin (\frac{k}{n} \cdot 2 π))

für

k \in {0, ..., n - 1}

.

Erstelle mit der Liste

L

das Vieleck, welches ich in Geogebra

K

nenne.

Berechne die Seitenlänge

a

des Vielecks (mit Kosinussatz). Setze dementsprechend:

a = r \cdot \sqrt{2 \cdot (1 - cos (\frac{2 π}{n}))}

Berechne den Umfang

u

des Vielecks. Setze:

u = n \cdot a

Erstelle Textfelder, um

a

bzw.

u

in der Zeichnung anzeigen zu lassen.

Erstelle zum Vergleich eine gepunktete Kreislinie eines Kreises mit Flächeninhalt

A,

also mit Radius

\sqrt{\frac{A}{π}}

.

\\\\

Ich schreibe gleich noch, wie man einige Dinge evtl. einfacher gestalten kann, ohne selbst so viel rechnen/überlegen zu müssen. Und ich schreibe auch gleich nochmal, wie es genau funktioniert, den Umfang mit Hilfe eines Textfeldes anzeigen zu lassen.

\\\\Edit\\\\

Statt die Seitenlänge

a

manuell mit einer Formel ausrechnen zu lassen, kann man GeoGebra auch einfach den Abstand zweier benachbarter Eckpunkte messen lassen.

Für den Umfang kann man auch "

u =

Umfang(K)" eingeben, statt "u = n*a". (Dabei sei

K

das Vieleck.)

Für die Anzeige des Umfangs:
Erstelle ein Textfeld. Bei der Eingabe solltest du ein Dropdown-Menu finden, dass "Objekte" heißt. Dort kannst du den Umfang

u

auswählen.

\\\\Edit2\\\\

Statt den Abstand

r

zu berechnen könntest du auch so vorgehen:
Erstelle die ein regelmäßiges

n -

Eck als Hilfsobjekt, welches du beispielsweise

V 1

nennst.
Strecke dieses dann mit dem Faktor

\sqrt{\frac{A}{V 1}}

(zentrische Streckung), wobei A der gewünschte Flächeninhalt ist. Und schon hast du ein regelmäßiges Vieleck mit dem passenden Flächeninhalt.

Beispiel für diese Methode: ggbm.at/U8ftQ3A6

abakus

20:19 Uhr, 11.10.2017

In Geogebra gibt es ein Werkzeug für regelmäßige n-Ecke, für das man nicht den Radius, sondern zwei benachbarte Eckpunkte und die Eckenzahl n braucht.
Ein Eckpunkt könnte (0,0) sein, der zweite (a,0).
Bei Verwendung dieses Werkzeuges müsste man sein Augenmerk lediglich daraus richten, zu einem gewünschten Flächeninhalt A und einer veränderbaren Eckenzahl n die Länge a aus A und n zu berechnen.

ameliewe aktiv_icon

16:45 Uhr, 12.10.2017

Oh wow vielen Dank! Ich muss mir jetzt erst mal Zeit nehmen, das alles zu verstehen und werde jetzt versuchen, es nochmal selber zu erstellen.

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