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Beweis: Abstand zweier Punkt in Quadrat
Universität / Fachhochschule
Relationen
angewandte lineare Algebra
Lineare Abbildungen
Tags: Angewandte Lineare Algebra, Linear Abbildung, Relation.
 
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Die Aufgabe: Sei und seien beliebige Punkte in einem Quadrat Das Quadrat hat jeweils eine Seitenlänge Frage: ich soll zeigen, dass es unter diesen Punkten, zwei Punkte gibt, die den Abstand haben. . Wie mache ich das? Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich benötige bitte nur das Ergebnis und keinen längeren Lösungsweg." |
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Mit dem Schubfachprinzip. ;-) |
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Hallo, > Wie mache ich das? Induktiv! Schaue dir dazu die Zeichnung unten an. Sie erläutert beispielhaft den Induktionsschritt (von auf ). Wären 2 Punkte in einem der kleineren Quadrate, so hätten die (weil Kantenlänge 1) höchstens den Abstand (=Länge der Diagonalen eines solchen kleineren Quadrates) und der Induktionsschritt wäre getan. Gehen wir also davon aus, dass sich dort je nur ein Punkt befindet, so sind im größeren der Quadrat (nicht dem größten!) noch Punkte. Dann die IV anwenden. Mfg Michael  |
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Danke für die schenllen Antworten! Ich dachte mir schon dass es irgendwas mit dem Schubfachprinip aufsich hat,ich konnte aber das Prinzip bisher nicht sinnvoll auf die Aufgabe übertragen.. Danke Michael, ich verstehe allerdings nicht ganz wie du auf deine letzte Formel kommst. Ich gehe davon aus dass du setzt .. aber wie kommst du auf den rest? |
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Das genannte große Quadrat lässt sich offenbar als Vereinigung von genau Einheitsquadraten darstellen. Liegen nun Punkte im großen Quadrat, dann muss es gemäß Schubfachprinzip unter den Einheitsquadraten eins geben, welches mindestens zwei dieser Punkte enthält. Und diese beiden Punkte haben gemäß Pythagoras einen Abstand kleiner oder gleich . |
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Hallo, Schubfachprinzip ist hier genau das richtige. Habe die Induktion nur zuerst gesehen und nicht weiter gesucht. Welche Formel ist dir unklar? Ich will den Induktionsschritt verdeutlichen: Dabei wird aber nicht gesetzt!!! Die Zeichnung verdeutlicht den Übergang von zu . Wären in auch nur einem der kleinen Quadrate zwei Punkte, so hätten die den Abstand höchstens (weil die kleinen Quadrate die Seitenlänge 1 haben). Gehen wir also davon aus, dass von den Punkten (zu dem Quadrat der Länge gehörend) je nur EIN Punkt in den kleinen Quadraten liegt, dann gehen von den ursprünglich gerade (bedenke hier: Quadrate) ab. Übrig bleiben (and vielleicht meinst du das als Formel?): , die dann in dem (sagen wir mal) mittleren Quadrat liegen müssten (dem, das zu gehört). Nach IV liegen dann Punkte in einem Quadrat der Länge , ergo haben dann dort (mindestens) 2 Punkte den Abstand höchstens . ABER: Schubfachprinzip ist deutlich weniger Arbeit!! Mfg Michael PS: Entschuldige, HAL9000, ich hatte deine Antwort erst nach dem Abschicken gesehen. Sonst hätte ich sie für mich behalten. Da nun aber nachgefragt wurde, wollte ich erläutern. |
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Gibt nichts zu entschuldigen. raggner21 hatte Fragen zu beiden Wegen, und wenn das beides beantwortet wird, ist doch alles gut. |
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Danke! Ich habs verstanden. :-) |
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