Zille
02:57 Uhr, 28.03.2024
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Hallo,
ich habe mal ne kurze Frage bzgl. ggT
Seien ganze Zahlen.
Wenn a ein Teiler von ist und ggT(a,b)=1 ist, wieso folgt dann, dass a ein Teiler von ist?
Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich benötige bitte nur das Ergebnis und keinen längeren Lösungsweg." |
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pivot
04:26 Uhr, 28.03.2024
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Hallo,
wegen ggT(a,b)=1 haben a und b keine gemeinsamen Teiler. Also ist a kein Teiler von b. Dann muss zwangsläufig a Teiler von k sein, wenn a Teiler von ist.
Gruß pivot
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pivot
04:26 Uhr, 28.03.2024
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Gelöscht.
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Die Argumentation stimmt, sofern Primzahl ist, dann ist das einfach das Lemma von Euklid.
Für zusammengesetzte ist aber der bloße Schluss " ist kein Teiler von , dann muss ein Teiler von sein" nicht ganz astrein: Schließlich gibt es Situationen mit , wo weder Teiler vob noch von sein muss, beispielsweise .
Man könnte mit der Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung bezogen auf argumentieren:
Jeder einzelne Primfaktor von muss in seiner vollen Potenz auch in vorliegen, denn andernfalls müsste er auch in vorkommen, was aber der Teilerfremdheit von widerspricht.
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Wegen gibt es laut Lemma von Bézout ganze Zahlen mit
Außerdem wissen wir, dass laut Voraussetzung für ein ganzes gilt.
Damit erhalten wir
Also ist Teiler von .
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Der Beweis über Bézout ist wirklich anratsamer, da Bézout deutlich elementarer als die von mir oben verwendete Primfaktorzerlegung ist.
Ein kleiner (glücklicherweise unerheblicher) Fehler hat sich in den Beweis eingeschlichen: Aus folgt tatsächlich
und daraus dann wieder .
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