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Frage zu mathematischem Grundverständnis.
Schüler Gymnasium, 9. Klassenstufe
Tags: Mathematik, Studium
 
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Ein Polynom n-ten Grades lässt sich nicht immer vollständig in Linearfaktoren zerlegen. Ist ja richtig. Aber wieso? Was kann man nicht in LF zerlegen? Wenn für ,b,c∈R gilt abc=b, dann gilt sicher auch "ist ungleich" 0. Wieso das? Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
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Eine Zerlegung in Linearfaktoren heißt, die Nullstellen zu berechnen, . durch Polynomdivision. Ein Polynom .ten Grades muss aber nicht Nullstellen haben. Es verbleibt daher bei der Polynomdivision ein Restglied. Dann wird das Polynom in der Form p(x)=a(x−x1)⋅(x−x2)⋅⋯⋅(x−xk)⋅Restglied dargestellt. |
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Achso ok. Aber das müsste dann doch nur für reelle Lösungen gelten oder? Bei welcher Funktion bleibt den so ein Rest übrig? |
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Hallo schon kannst du nicht in linearfaktoren (reell) zerlegen, kannst du nicht in Linearfaktoren zerlegen, an die beiden kannst du jetzt Linearfaktoren ranmultiplizieren bis du bei was du willst ankommst. Gruß ledum |
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Hallo, die Funktion f(x)=x²+4 hat keine reelle Nullstelle. f(x)=(x²+4)(x-3) ist zwar dritten Grades, hat aber nur eine Nullstelle (die 3).²+9 f(x)=(x²+4)(x²+5)(x²+9) hat keine Nullstelle, weil alle Faktoren positiv sind. Es ist bei keinem der hier verwendeten quadratischen Terme möglich, sie in Linearfaktoren zu zerlegen. Angenommen, es wäre doch möglich. Dann müsste es z.B. zwei Faktoren (x-a) und (x-b) geben, mit denen (x-a)(x-b)=x²+4 gilt. Daraus würde x²-(a+b)x+ab=x²+4 folgen, was auf -(a+b)x+ab=4 führt. Da 4 ein von x unabhängiger konstanter Wert ist, müsste für die Gültigkeit dieser Gleichung a+b=0 und a*b=4 gelten. Dieses Gleichungssystem hat aber keine reelle Lösung. Also gibt es eine Linearfaktorzerlegung von x²+4. |
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