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Frage zum Aufstellen des Vierstreckensatzes

Schüler Realschule, 9. Klassenstufe

Vierstreckensatz

Tags: einbeschreiben, Vierstreckensatz, zentrische Streckung

Kerscher aktiv_icon

23:13 Uhr, 19.05.2010

Hallo ich habe ein kleines Problem bei einer Aufgabe. Und zwar geht es um den Vierstreckensatz und das Einbeschreiben.
Die Aufgabe lautet:
Dem Dreieck soll ein Rechteck PQRS einbeschrieben werden. Die Strecke

[

PQ] soll auf [AB], der Punkt

R

auf [BC] und

S

auf [AC] liegen. Die Seite [PQ] soll drei mal so lange sein wie die Strecke [QR].
Es gilt

A (\frac{0}{0}), B (\frac{9}{0}), C (\frac{5}{7}),

= x

a)

Zeichne das Dreieck ABC und konstruiere das Rechteck PQRS

b)

Berechne die seitenlängen des Rechtecks und dessen Flächeninhalt.

Also mein Problem liegt beim Zeichnen und beim Rechen. Denn ich weiß nicht wo ich das Rechteck hinzeichen soll und weil ich nur die Punkte gegeben habe, weiß ich nicht wie ich den Vierstreckensatz anwenden soll.
Ich hätte gesagt:
PQ QR

- = -

AB SP

PQ zu AB ist das selbe wie QR zu SP
ich weiß das kann nicht klappen, darum bitte helft mir

Danke
Ludwig

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Strahlensatz und Ähnlichkeit

Edddi aktiv_icon

12:43 Uhr, 20.05.2010

Zeichne dir die senkrechte Höhe auf AB ein (geht durch Punkt

C

und ist 7 hoch).
Der Schnittpunkt der Höhe mit Strecke SR sei

T .

Dann ist a=ST, b=TR und h=CT

So...und jetzt einfach Verhältnisgleichungen austellen (am besten nachvollziehen):

links

\frac{7}{5} = \frac{h}{a}

und rechts

\frac{7}{4} = \frac{h}{b}

Dann gilt noch:

\frac{a + b}{7 - h} = \frac{3}{1}

und somit

a + b = 3 \cdot (7 - h)

3 Unbekannte

- 3

Gleichungen...durch Einsetzungsverfahren eleminiere ich

h :

a + b = 3 \cdot (7 - h)

\frac{a + b}{3} = 7 - h

h = 7 - \frac{a + b}{3} = \frac{21 - a - b}{3}

dies jetzt in die beiden oberen Verhältnisgleichungen eingesetzt liefert:

\frac{7}{5} = \frac{h}{a}

\frac{7}{5} = \frac{21 - a - b}{3 \cdot a}

\frac{21}{5} \cdot a = (21 - a - b)

- 21 + \frac{21}{5} \cdot a + a + b = 0

- 21 + \frac{26}{5} \cdot a + b = 0

bzw.

\frac{7}{4} = \frac{h}{b}

\frac{7}{4} = \frac{21 - a - b}{3 \cdot b}

\frac{21}{4} \cdot b = (21 - a - b)

- 21 + \frac{21}{4} \cdot b + a + b = 0

- 21 + \frac{25}{4} \cdot b + a = 0

Wir haben also folgendes GLS:

- 21 + \frac{26}{5} \cdot a + b = 0

- 21 + \frac{25}{4} \cdot b + a = 0

Lösung durch Additionsverfahren:

- 21 + \frac{26}{5} \cdot a + b = 0 | \cdot \frac{5}{26}

- 21 \cdot \frac{5}{26} + a + \frac{5}{26} \cdot b = 0

- 21 \cdot \frac{5}{26} + \frac{5}{26} \cdot b + a = 0

- 21 + \frac{25}{4} \cdot b + a = 0

- - - - - - - - - - - - - - - - - -

(21 - 21 \cdot \frac{5}{26}) + (\frac{5}{26} - \frac{25}{4}) \cdot b = 0

(1 - \frac{5}{26}) \cdot 21 + (\frac{5}{26} - \frac{25}{4}) \cdot b = 0

(\frac{21}{26}) \cdot 21 + (\frac{10}{52} - \frac{325}{52}) \cdot b = 0

\frac{882}{52} = \frac{315}{52} \cdot b

\frac{882}{315} = b

2,8 = b

Damit ist dann Strecke AQ=5+b=7,8

Den Rest einfach aus den Gleichungen erechnen oder konstruieren!

;-)

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