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Frage zum Schnitt von Untervektorräumen

Universität / Fachhochschule

Vektorräume

Tags: Schnitt, Unterraum, Untervektorraum, Vektorraum

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15:21 Uhr, 16.11.2019

Hallo,

ich musst in einer Aufgabe den Schnitt zweier Unterverktorräume berechnen.
Deshalb wollte ich fragen, ob meine "Rechnung" richtig ist und wie ich diese grafisch darstelle:

Die Aufgabe:
Im reellen Vektorraum

V = R^{3}

seien Unterräume

U_{1}

und

U_{2}

gegeben durch

U_{1} = (1, 0, 1), (0, 1, - 1) = {a

(1, 0, 1) + b

(0, 1, - 1) | a, b \in R},

U_{2} = (1, 0, - 1), (0, 1, 1) = {a

(1, 0, - 1) + b

(0, 1, 1) | a, b \in R}

.

Berechnen Sie

U_{1} \cap U_{2}, U_{1} + U_{2}

und je ein Komplement zu

U_{1}

und

U_{2}

. Veranschaulichen Sie die
verschiedenen Unterräume im

R^{3}

geometrisch.

Meine Rechnung zu

\cap

Es gilt ja beim Schnitt:

a_{1} \cdot (\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{matrix}) + b_{1} \cdot (\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ - 1 \end{matrix}) = a_{2} \cdot (\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ - 1 \end{matrix}) + b_{2} \cdot (\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{matrix})

Damit ergeben sich die Gleichungen:

(1)

a_{1} = a_{2}

(2)

b_{1} = b_{2}

(3)

a_{1} - b_{1} = b_{2} - a_{2}

Wenn wir nun die erste und die zweite in die dritte Einsetzen ergibt sich

a = b

.

Nun bin ich mir unsicher wie ich das jetzt zum Untervektorraum führen kann. Da man bei der Gleichung einfach den Nullvektor bekommt. Oder ist er das? Und wie stelle ich das am Besten dar?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Lagebeziehung Ebene - Ebene
Lagebeziehung Gerade - Ebene (in Normalenform)
Lagebeziehung Gerade - Ebene (in Parameterform)
Lagebeziehung Gerade - Gerade