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Frage zum Unterschied von Tensoren und -produkten

Universität / Fachhochschule

Sonstiges

Tags: Lineare Algebra, Tensor, Tensorprodukt

anonymous

13:27 Uhr, 15.10.2018

Guten Tag alle zusammen,

ich schicke euch im Anhang zwei Screenshots aus unserem aktuellen Mathe-Skript.

Dabei habe ich eine Frage zum Unterschied von Tensoren und -produkten:

Also einmal soll ein Tensor ein Element von

V \otimes W

sein. Okay, ist aber laut Definition
von

κ

v \otimes w

nicht ein Element von

V \otimes W

? Dann sollen aber Elemente von

v \otimes w

Tensorprodukte sein!? Aber was soll denn das Element eines Vektors sein?

Beste Grüße
Hazard

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

ermanus aktiv_icon

14:45 Uhr, 16.10.2018

Hallo,
ich habe das Problem, dass ich dein Problem nicht verstehe.
Klar ist

κ (v, w) \in V \otimes W

, also ein Tensor.
Deinen Satz
"Dann sollen aber Elemente von

v \otimes w

Tensorprodukte sein!?"
verstehe ich nicht, wo wird denn so etwas behauptet.
Man nennt die Erzeugenden der Gestalt

u \otimes v

Tensorprodukte
(Tensorprodukte zweier Vektoren).
Das Tensorprodukt zweier Vektorräume und das Tensorprodukt
zweier Vektoren sind zwei verschiedene Dinge.
Gruß ermanus

anonymous

17:58 Uhr, 16.10.2018

Hallo ermanus,

erst einmal vielen Dank für deine Antwort.

1.) Mittlerweile verstehe ich es folgendermaßen:

V \oplus W

ist der VR aller Tensoren,
also auch Linearkombination von reinen Tensoren. Tensorprodukte der Form

v \oplus w

werden
als reine Tensoren bzw. Tensorprodukte (von Vektoren!) bezeichnet.
Was mich aber noch verwirrt: In meinem letzten Post hatte ich ja ein Bild geschickt, wird nicht JEDES

(v, w) \in V \times W

auf einen reinen Tensor

v \oplus w

abgebildet, laut
Def. von

κ

?

Im Anhang schicke ich noch eine unserer Übungsaufgaben (nur Teil (a)).
Dazu habe ich noch ein paar Fragen:

2.)

e_{1} \oplus e_{1} + 6 e_{2} \oplus e_{2} + . . .

Also als Ergebnis der Linearkombination erhalte ich

7

, wobei ich mir nicht sicher bin. Also ich dachte:

e_{1} \oplus e_{1} + 6 e_{2} \oplus e_{2} = 7

(aufgrund der Definition des Kronecker-Deltas), der Rest der Summanden ist

0

.
Gibt es dafür nicht unendlich viele Möglichkeiten, das als Tensorprodukt zu schreiben,
nämlich

(\begin{array}{rcl} b \\ 0 \end{array}) \oplus (\begin{array}{rcl} 7 / b \\ 0 \\ 0 \end{array}), b \neq 0

?

Ist das richtig oder habe ich das falsch verstanden?

Sei gegrüßt
Hazard

ermanus aktiv_icon

21:05 Uhr, 16.10.2018

Hallo,
dein Beitrag liest sich etwas verwirrend, da du plötzlich

\oplus

statt

\otimes

schreibst. Aber ichgehe davon aus, dass du

\otimes

meinst.

Natürlich wird jedes

(v, w)

auf einen reinen Tensor abgebildet.
Daran kannst du sehen, dass

κ

nicht surjektiv ist,
sondern die

κ (v, w)

nur ein Erzeugendensystem von

V \otimes W

bilden.

Im speziellen Fall der Aufgabe ist

e_{1} \otimes e_{1}, e_{1} \otimes e_{2}, e_{1} \otimes e_{3}, e_{2} \otimes e_{1}, e_{2} \otimes e_{2}, e_{2} \otimes e_{3}

eine Basis von

V \otimes W

.

Warum lässt sich jedes Element aus

V \otimes W

als Summe zweier reiner Tensoren schreiben?
Sei dazu

u \in V \otimes W

, dann hat

u

die Gestalt

u = a_{11} e_{1} \otimes e_{1} + a_{12} e_{1} \otimes e_{2} + a_{13} e_{1} \otimes e_{3} + a_{21} e_{2} \otimes e_{1} + a_{22} e_{2} \otimes e_{2} + a_{23} a_{2} \otimes e_{3} =

= e_{1} \otimes (a_{11} e_{1} + a_{12} e_{2} + a_{13} e_{3}) + e_{2} \otimes (a_{21} e_{1} + a_{22} e_{2} + a_{23} e_{3}) .

Wir ordnen gemäß diesem allgemeinen Vorbild die vorgegebene Linearkombination
um und "klammern" aus:

e_{1} \otimes (e_{1} + \frac{3}{2} e_{2} + e_{3}) + e_{2} \otimes (4 e_{1} + 6 e_{2} + 4 e_{3})

.

Nun bekommst du den Rest wohl selber hin ?

Gruß ermanus

anonymous

08:06 Uhr, 18.10.2018

Hallo ermanus,

entschuldige, es sollte natürlich

\ o t i m e s

statt

\ o p l u s

heißen ...

1.) ,,Natürlich wird jedes (v,w) auf einen reinen Tensor abgebildet.
Daran kannst du sehen, dass κ nicht surjektiv ist,
sondern die κ(v,w) nur ein Erzeugendensystem von V⊗W
bilden."

\ l o n g r i g h t a r r o w

Aha, und statt

\ k a p p a

schreibt man dann vermutlich auch irgendwann

\ o t i m e s

für die Abbildung, oder?

2.) Müsste man streg genommen nicht zwischen

(e_2)_{\ m a t h b b {R}^2}

und

(e_2)_{\ m a t h b b {R}^3}

, denn in der Aufgabe wird die gleiche Notation für die Basisvektoren aus Vektorräumen unterschiedlicher Dimension verwendet, oder ist dies üblich?

3.) Also in der Aufgabe ist ja ein Teil zu zeigen, dass sich jedes Element von

V \ o t i m e s W

sich als Linearkombination von zwei reinen Tensoren schreiben lässt.
Dann erhalten wir (sei

u \ i n V \ o t i m e s W

e_1 \otimes (a_{11} e_1 + a_{12} e_2 + a_{13} e_3) + e_2 \otimes (a_{21} e_1 + a_{22} e_2 + a_{23} e_3)

.

Dann kann ich ja definieren (um mit der Notation der Aufgabe konsistent zu bleiben):

v_1 : = e_1

v_2 : = e_2

w_1 : = a_{11} e_1 + a_{12} e_2 + a_{13} e_3

w_2 : = a_{21} e_1 + a_{22} e_2 + a_{23} e_3

, mit den Elementen einer Matrix

A

So, dann habe ich aber eine Frage zur Aufgabenstellung: Ist sie so gemeint, dass man zeigen soll, dass
sich alle Elemente von

V \ o t i m e s W

schrieben lassen als eine BELIEBIGE Kombination von zwei reinen Tensoren (dann hätten wir ja die Allgemeinheit beschränkt, oder nicht?), oder man soll irgendeine Linearkombination von zwei reinen Tensoren wählen.

Die Koeffizienten meiner Matrix kann ich im Allgemeinen nicht ausrechnen, oder doch? Und wenn ich alle Koeffizienten meiner Matrix

a_{i j} = 0

, dann ist dies weiterhin kein Problem?

Beste Grüße
Hazard

ermanus aktiv_icon

18:16 Uhr, 18.10.2018

Hallo,
irgendwie ist gerade der LaTeX-Interpreter in deinem Browser
schlafen gegangen ...
Sieht ein bisschen nach Microsoft Edge aus ;-)

Zu 1.)
Ja, die Bilder unter

κ

schreibt man als

. \otimes .

Zu 2.)
Man könnte die Standardbasis des rechten Raumes natürlich

f_{1}, f_{2}, f_{3}

nennen,
allein der Erkenntnisgewinn wäre minimal.
Wenn

e_{i}

links von "

\otimes

" steht, ist es ein Element von

V

,
steht es rechts von "

\otimes

", ist es ein Element von

W

.
Da Verwechslungen eher unwahrscheinlich sind, bedient man sich
dieser Laxheit.

Zu 3.)
Deine Definition der

v_{i}

und

w_{j}

ist vollkommen richtig verstanden.
Die Aussage, dass man Elemente aus

V \otimes W

in diesem konkreten Falle
als Summe/Linearkombination zweier reiner Tensoren schreiben kann,
heißt, dass es gewisse

a_{i j}

gibt, so dass das geht, also nix mit
"BELIEBIG" ;-)

Gruß ermanus

anonymous

20:47 Uhr, 19.10.2018

Ich lerne daraus, dass ich in Zukunft (bevor ich meinen Browser schließe), nachschauen sollte bzw. sichergehen sollte, dass jede(r) auch meinen getippten Text lesen kannn ...

Auch hier vielen Dank soweit! Ich habe noch zur weiteren Lernaufgabe eine Frage,
ich würde mich natürlich freuen, wenn du darauf schaust.

Bestimmen Sie die Dimension von Bild und Kern der folgenden linearen Abbildung, die durch
das Vektorprodukt gegeben ist.

f : ℝ^{3} \otimes ℝ^{3} \to ℝ^{3}, v \otimes v \mapsto v \times w

.

Geben Sie zusätzlich eine Basis von Kern und Bild an.

>

So,

d i m (ℝ^{3} \otimes ℝ^{3}) = 9

d i m (i m (f)) = 3

(klar)

\Rightarrow d i m (k e r (f)) = 6

(Dimensionsformel)

>

Die Basen sollen noch bewiesen werden (also angeben soll hier wohl nicht nur heißen,
einfach aufschreiben).

Ist eine Basis des Bildes nicht trivialerweise z. B. die kanonische Basis, id est

{e_{1}, e_{2}, e_{3}}

? Das wäre irgendwie zu einfach ...

ad Basis des Kerns: Hierfür ist doch die erste Idee zu sagen, dass

k e r (f) = {u \in ℝ^{3} \otimes ℝ^{3} ∣ f (u) = 0}

, wobei

u = \sum_{i, j = 1}^{n} α_{i j} e_{i} \otimes e_{j}

, oder?

Viele Grüße
Hazard

anonymous

15:23 Uhr, 21.10.2018

Vielen Dank auch hier für deine Geduld, ermanus!!

Beste Grüße
Hazard

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