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Fragen zu Dichtefunktion,Verteilungsfunktion W-Maß

Universität / Fachhochschule

Verteilungsfunktionen

Wahrscheinlichkeitsmaß

Zufallsvariablen

Tags: Verteilungsfunktion, Wahrscheinlichkeitsmaß, Zufallsvariablen

Nasryn aktiv_icon

15:27 Uhr, 18.07.2020

Hallo Zusammen,

Wie man dem Titel entnehmen kann habe ich ein Paar Fragen zur Verteilung, Zähldichte und Dichtefunktion.

Erstmal das was ist glaube zu Wissen. Also es gibt diskrete und stetige Verteilungen. Bei der Diskreten Verteilung kann ich mittels der Zähldichte die Wahrscheinlichkeit für einen bestimmten Wert berechnen. Also entsprechend meiner Zufallsvariablen kann ich

X = x

berechnen. Mit der Verteilungsfunktion kann ich im diskreten Fall, alles berechnen was kleiner gleich oder größer gleich ist. Sprich im diskreten Fall ist die Verteilungsfunktion nichts weiter als eine aufsummierung der Zähldichte oder täusche ich mich da?

Bei stetigen Verteilungen kann ich die Wahrscheinlichkeit mit der Dichtefunktion und der Verteilungsfunktion bestimmen, wobei die Verteilungsfunktion die Dichtefunktion verwendet. So habe ich das Verstanden. Die Dichtefunktion ist dabei nichts anderes als das bestimmte Integral von minus unendlich bis

k

. Sprich ich berechne die Fläche bis zu dem Punkt

k

. Hier jetzt mein Verständnisproblem. Wenn ich die Dichtefunktion benötige um die Verteilungsfunktion zu bestimmen und die Dichtefunktion ebenfalls die Wahrscheinlichkeit für

\leq k

oder

\geq k

angibt, sind dann die Verteilungsfunktion und die Dichtefunktion nicht identisch? Oder ist die Verteilungsfunktion so definiert, dass ich immer von Minus unendlich bis

k

Zähle und die Dichtefunktion kann genutzt werden um Quantile zu bilden? sprich

P (2 \leq x \leq 5)

als beispiel? Die Verteilungsfunktion und die Dichtefunktion verwirren mich ein wenig. Ich hoffe jemand kann mir helfen.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

pivot aktiv_icon

15:44 Uhr, 18.07.2020

>>... die Dichtefunktion ebenfalls die Wahrscheinlichkeit für ≤k oder ≥k angibt ...<<

Nein, das tut sie nicht. Die Dichtefunktion gibt gar keine W´keit an. Nur das Integral gibt eine W´keit an:

P (a < X < b) = \int_{a}^{b} f_{X} (x) d x

Somit ist

P (2 < X < 5) = \int_{2}^{5} f_{X} (x) d x

Gruß
pivot

Nasryn aktiv_icon

15:55 Uhr, 18.07.2020

Ja, aber ist den die Dichtefunktion nicht so definiert. dass es das Integrall ist, welches mir meine Wahrscheinlichkeit zurück gibt? Und wie verählt sich das bei mit der Verteilungsfunktion?

pivot aktiv_icon

16:06 Uhr, 18.07.2020

Umgekehrt. Das Integral der Dichtefunktion von

- \infty

bis

b

ergibt

P (X \leq b)

Nasryn aktiv_icon

16:17 Uhr, 18.07.2020

Ok, ich verstehe nicht ganz worauf du hinaus willst dabei?

Ich habe mir nochmal die definition von der Verteilungsfunktion und der Dichtefunktions angesehen und habe villeicht mein Problem erkannt. Mit der Dichtefunktion bzw. mit dem Integral der Dichtefunktion kann ich die Fläche berechnen, auch die Fläche

\int_{a}^{b} f (x) d x

. Wenn ich jetzt mehrere einzelne Flächen berechne und mir ausplotten lasse, habe ich ja wieder einen "Diskreten Zustand" grob gesagt(in meinem Fall Bar Graph)und wenn diese "diskreten Zustände" aufkummulierte erhalte ich meine Verteilungsfunktion oder täusche ich mich da? Wenn ich richtig liege ist die Dichtefunktion mit der Formel

\int_{a}^{b} f (x) d x

definiert und die Verteilungsfunktion im stetigen Fall mit

\int_{- \infty}^{b} f (x) d x

. Habe ich mich jetzt komplett verannt oder liege ich damit richtig?

pivot aktiv_icon

16:29 Uhr, 18.07.2020

Ja, man kann mit der summation der einzelnen Flächen auch die Verteilungsfunktion einer stetigen Zufallsvariable herleiten. Aber prinzipiell bleibt es dabei: Bei diskreten Zufallsvariablen wird summiert und bei stetigen Variablen wird integriert.

Wichtig: Die Dichtefunktion wird nur im stetigen Fall verwendet.

Hier gilt und

\underline{nicht}

bei diskreten Zufallsvariablen folgendes:

P (a \leq X \leq b) = P (a \leq X < b) = P (a < X \leq b) = P (a < X < b)

= \int_{a}^{b} f (x) d x

P (- \infty < X \leq b) = P (- \infty < X < b) = P (X \leq b) = P (X < b)

= \int_{- \infty}^{b} f (x) d x

Nasryn aktiv_icon

16:35 Uhr, 18.07.2020

Ja das es nur bei Stetigen gilt ist mir klar. Mir war und ist bisher noch nicht der genaue Unterschied zwischen der Verteilungsfunktion und der Dichtefunktion klar. Denn wenn ich mir das ansehe, kann ich ja auch mit der Dichtefunktionen bzw. mit dem Integral der Dichtefunktion das selbe machen was ich mit der Verteilungsfunktion machen kann. Im diskreten Fall ist mir das alles bewusst, sprich da ist die Zähldichte die mir die Wahrscheinlichkeit für genau einen Wert zurück gibt. Die Verteilungsfunktion ist ja im Diskreten Fall die aufsummierung der einzelwahrscheinlichkeiten. Daher nochmal die Frage, wieso gibt es im stetigen Fall die Dichte- und die Verteilungsfunktion, obwohl beide ja das selbe machen, sprich sie nutzen das Integral und berechnen so die Fläche?

pivot aktiv_icon

16:47 Uhr, 18.07.2020

Man kann es vereinfacht auf eine Formel bringen: Das Integral der Dichtefunktion ist die Verteilungsfunktion.

Also erst durch die Integration der Dichtefunktion erhält man die Verteilungsfunktion.

Die Dichtefunktion der stetigen Gleichverteilung ist

f (x) = \frac{1}{b - a} \forall a \leq x \leq b

Somit ist die Verteilungsfunktion der stetigen Gleichverteilung das Integral

P (X < x) = \int_{a}^{x} \frac{1}{b - a} d t = {[\frac{t}{b - a}]}_{a}^{x} = \frac{x - a}{b - a} \forall a < x < b

Nasryn aktiv_icon

16:54 Uhr, 18.07.2020

Okay das habe ich verstanden. Da komtm bei mir nur folgende Frage auf und zwar kann ich mit der Dichtefunktion doch rein theoretisch die Wahrscheinlichkeit für einen beliebigen Punkt bestimmen, da ich bei der Dichtefunktion kein Integral verwende.

Ich betrachte das alles analog zu der Diskreten Verteilung. Die Zähldichte gibt mir zu einem Punkt die Wahrscheinlichkeit wieder und ist im stetigen Fall die Dichtefunktion. Die Verteilungsfunktion im diskreten Fall wäre demnach die aufsummierung und im Stetigen Fall die berechnung der Fläche mittels Integral. Da im stetigen Fall die berechnung der Wahrscheinlichkeit für einen bestimmten gleich null ist (konnte ich mir bisher nur mit dem Integral erklären), frage ich mich wie das jetzt erklärt wird?

pivot aktiv_icon

17:04 Uhr, 18.07.2020

Nehmen wir die als Beispiel die stetige Gleichverteilung mit a=0 und b=1. Wie hoch ist die W´keit für

P (X = 0, 422)

? Hier kann man sich der Definition von Laplace bemühen:

P (X = x) = \frac{Anzahl günstiger Ereignisse}{Anzahl möglicher Ereignisse} = \frac{G}{N}

Wieviele mögliche Ereignisse gibt es? Es gibt unendlich viele davon, da die Anzahl der Nachkommastellen nicht begrenzt ist. Somit ist

P (X = x) = lim_{N \to \infty} \frac{G}{N} = 0

Nasryn aktiv_icon

17:10 Uhr, 18.07.2020

Verdammt!!! So habe ich das noch gar nicht betrachtet. Ich danke dir wirklich für deine Hilfe und deine Geduld mit mir ;-)
Du warst mir eine große Hilfe!

pivot aktiv_icon

17:21 Uhr, 18.07.2020

Gerne. Die Integraldarstellung kann auch hilfreich sein zum Verständnis.

P (X = x) = \int_{x}^{x} f (t) d t = {[F (t)]}_{x}^{x} = F (x) - F (x) = 0

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