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Funktionen .... explizite Form -> parametrische Gestalt
Universität / Fachhochschule
Tags: Analysis
 
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anonymous 17:48 Uhr, 01.06.2004  |
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Hallo! Kann mir jemand kurz erklären wie ich eine Funktion aus der expliziten analytischen Form in die parametrische umwandle? (der umgekehrte Weg ist klar) Nehmen wir als Beispiel: a)Wie lautet die parametrische Gestalt x=x(t) y=y(t) der Fkt y=3x-7? b) " " " " " " " " x^2 + y^2 = 4 Vielen Dank für eure Hilfe! |
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Hallo Marc das gibt es gar nicht, die parametrische Form. Es gibt immer tausende von Möglichkeiten. An sich kannst du für den x-Wert eine beliebige Funktion nehmen, die Bedingung ist nur, dass durch diese Funktion dann auch alle x-Werte des Definitionsbereichs angenommen werden, und im Idealfall ist die Funktion auch noch injektiv. Nehmen wir mal dein 1. Beispiel: y=3x-7 Hier kannst du zum Beispiel nehmen (banal) x(t)=t; oder kurz: x = t. dieses x kannst du in der expliziten Form einsetzen und erhältst: y = 3t-7. Jetzt hast du also 2 Gleichungen: x=t y=3t-7 Aus diesen 2 Gleichungen kannst du den Parameter wieder eliminieren und erhältst deine ursprüngliche Gleichung wieder: y=3x-7. Du hättest aber auch folgendes machen können: x=t5+t3. Dann ergäbe sich sich: y=3t5+3t3-7 Oder auch: x=(t+7)/3, womit sich y=t ergibt etc. etc. Dein 2. Beispiel: x2 + y2 = 4 Eine kleine Analyse zeigt, dass der x-Wert (wie auch der y-Wert) zwischen den Werten -2 und +2 liegen muss. Da kann also zum Beispiel x=2*cos(t) gesetzt werden (Mit 0 <= t <= 2Pi nimmt dann der x-Wert gerade die gültigen Werte zwischen -2 und +2 an). Somit ergibt sich: y2 = 4-4cos2(t) = 4-4(1-sin2(t)) = 4sin2(t), oder: y=2sin(t). Insgesamt also: x=2cos(t);y=2sin(t). Auch hier kann t wieder eliminiert werden, und es entsteht die ursprüngliche Gleichung ohne Parameter. Die Substitution x=r*cos(t);y=r*sin(t) ist übrigens die Parametertransformation, wenn du in Polarkoordinaten rechnen willst. Man hätte aber auch z.B. so substituieren können: x=2(1-t2)/(1+t2) y=4t/(1+t2) Hier könnte dann der Parameter von -Unendlich bis +Unendlich laufen, und dein Kreis würde dadurch genau einmal durchlaufen. So, ich hoffe, ich habe etwas Licht in die Angelegenheit gebracht. Mit lieben Grüssen Paul www.matheraum.de |
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