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Funktionenraum bildet ein Vektorraum. Wie?
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Tags: Differentiation, Folgen und Reihen, Funktionalanalysis, Funktionenfolgen, Funktionenreihen, Gruppen, Körper, polynom
 
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Hey,Leute! In der Linearen Algebra I beschäftigen wir uns momentan mit den Vektorräumen. In unserem ersten Übungsblatt geht es darum, dass wir zeigen, ob bestimmte Mengen einen Vektorraum bilden. Dabei müssen ja folgende Axiome gelten: ∀ ∈ (Assoziativgesetz) ∀ ∈ (Kommutativgesetz) Es gibt ein Element 0 ∈ mit ∀u ∈ (Existenz der Null) Zu jedem ∈ gibt es ein Element −u ∈ mit (−u) (Existenz des Inversen) α(βu) = (αβ)u ∀α, β ∈ ∈ ∀ ∈ α(u αu αv ∀α ∈ ∈ (Distributivgesetz (α β)u = αu βu ∀α, β ∈ ∈ (Distributivgesetz Ich komme aber bei folgender Aufgabe nicht klar: Sei eine Menge und ein Körper. Zeigen Sie, dass die Menge aller Abbildungen → einen Vektorraum über bildet, wenn man Addition und Skalarmultiplikation punktweise definiert, . für λ ∈ und ∈ definieren wir (λ · λf(x), ∀ ∈ M. Ich hänge bei dieser Aufgabe seit zwei Stunden fest, ohne eine Lösung zu haben... Ich konnte zwar schon 3 Axiome nachprüfen, aber ich weiß nicht, wie sich alle weiteren Axiome mathematisch korrekt überprüfen lassen, weil sie für mich selbstverständlich sind... Es wäre super, wenn mir da jemand helfen kann! :-) Meine bisheriger Lösungsversuch: 1.Axiom: Überprüfe die Assoziativität: 2.Axiom: Überprüfe die Assoziativität: 3.Axiom: Überprüfe die Existenz eines neutralen Elements: Das neutrale Element des Funktionenraums ist also die Nullfunktion. So weit bin ich gekommen. Beim Rest komme ich nicht weiter... Kann mir da jemand helfen? Ich wäre für jede Antwort dankbar! Ich bedanke mich schon mal im Voraus Maxi Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
| Hierzu passend bei OnlineMathe: Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de: |
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Hallo soweit richtig, die Mult. mit Skalar ist wirklich nur trivial, aber du solltest sie doch hinschreiben usw. Gruß ledum |
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Danke für die schnelle Antwort! Ich habe Axiom 4 folgendermaßen versucht zu überprüfen. Zu jedem ∈ gibt es ein Element −u ∈ mit (−u) (Existenz des Inversen) Aber das kann doch nicht stimmen, oder? Eigentlich ist die Inverse immer die Umkehrfunktion. Wie schreibt man das mathematisch richtig?:/ Axiom α(βu) = (αβ)u ∀α, β ∈ ∈ α(βf)(x) (β β) wegen Assoziativgesetz] = (αβ)f(x) Axiom ∀ ∈ Das ist trivial. Weiß nicht, was es da zu überprüfen gibt. Axiom α(u αu αv ∀α ∈ ∈ (Distributivgesetz α(f α(f(x) α*f(x) α*f(x) Axiom (α β)u = αu βu ∀α, β ∈ ∈ (Distributivgesetz Hier weiß ich nicht, wie man das überprüft... Wäre echt super von dir, wenn du mir sagen könntest, ob meine Beweise bis jetzt stimmen und wie ich das Axiom 8 überprüfen kann... Ich bedanke mich schon mal! |
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hallo du hast es im VR der Funktionen mit der normalen Addition von Funktionen zu tun NICHT mit der Verknüpfung also nicht mit sondern mit dann ist wirklich der zu inverse Vektor.. die letzten gesetze , wie 8 haben eigentlich nur mit den Gesetzen des zugehörigen Körpers hier zu tun, deshalb muss man eigentlich nicht nachprüfen, aber um vollständig zu sein kannst du mit schreiben da das ja punktweise gilt, wo die einfach in liegen und das die Körpergesetze sind Gruß ledum PS ja dein Beweis ist richtig vielleich schreibst du irgendwo dazu, dass das da die Addition punktwese erklärt ist also einfach die Körpergesetze sind. es soll dich nicht stören, dass die Beweise recht trivial sind, trotzdem kann man damit, dass die Fkt einen VR bilden später viel beweisen. deshalb ist es wichtig, das einmal zu machen! Gruß ledum |
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