Funktionsschar

Gegeben ist die Funktionenschar fa mit ${\displaystyle \mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\mathrm{X<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)=(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}+\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>})\times {\mathrm{e<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}-\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}};\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\in \mathbb{R<mspace\; width="0.12em"></mspace>};\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\in \mathbb{R<mspace\; width="0.12em"></mspace>},\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}>0.}$

Der Graph der Funktion fa sei Ga. In der Anlage sind einige Graphen Ga dargestellt.

a) Ermitteln Sie die Nullstelle von fa, die Koordinaten und Art des Extrempunktes sowie
die Koordinaten des Wendepunktes von Ga in Abhängigkeit vom Parameter a.
Auf den Nachweis der Existenz des Wendepunktes wird verzichtet.
Bestimmen Sie die Gleichung der Wendetangente ta.
Untersuchen Sie das Verhalten der Funktionswerte von fa für x →∞ und
x →−∞.

Kann mir bitte jemand bei dieser Aufgabe helfen. Danke!

Hallo,

dann lass uns die Aufgabe mal durchrechnen. Was hast Du schon?

Gruß

Stephan

$$\begin{gathered} {\displaystyle \mathrm{B<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{i<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{s<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{j<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{e<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{t<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{z<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{t<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{h<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{b<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{e<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{i<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{c<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{h<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{u<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{r<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{d<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{i<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{e<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{N<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{u<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{l<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{l<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{s<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{t<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{e<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{l<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{l<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{e<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}! \\ \mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)=0 \\ (\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}+\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>})*{\mathrm{e<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}-\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}=0 \\ \mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}+\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=0 \\ \mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=-\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}} \end{gathered}$$

weiter komme ich nicht.

Für den Extrempunkt musst Du zunächst f ableiten - mit Produkt und Kettenregel.

Kannst Du das?

nein!!!

Ok, ich rechne Dir f' und Du versuchst f''

${\displaystyle {\mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{\prime }\left(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)=1\cdot {\mathrm{e<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}-\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}+(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}+\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>})\cdot {\mathrm{e<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}-\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}\cdot (-1)={\mathrm{e<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}-\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}\cdot (1+(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}+\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>})\cdot (-1))={\mathrm{e<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}-\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}\cdot (1-\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}-\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>})}$

Der erste Faktor 1 ist die Ableitung von x+a, der zweite ist nur abgeschrieben. Nach dem + ist der erste Faktor nur abgeschrieben, der zweite ist die Ableitung von ${\displaystyle {\mathrm{e<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}-\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}}$. Die e-Funktion ergibt sich selbst und der Exponent ergibt nachdifferenziert *(-1)