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Fußpunkt H des Lotes von C bestimmen

Schüler Berufliches Gymnasium, 13. Klassenstufe

Tags: Fußpunkt, Lot, Lotfußpunkt, Vektor, Vektorgeometrie

Vanessa1901 aktiv_icon

21:27 Uhr, 01.02.2016

Hallo zusammen,

ich hänge hier total an einer Aufgabe fest.
Ich verstehe leider schon gar nicht wie ich hier bei heran gehen muss, um den Fußpunkt zu berechnen.

Hier die Aufgsbe:

Gegeben sind die Punkte

(2, 0, 3); B (- 2, 0, 1); C (- 2, - 2, - 3)

Bestimmen Sie den Fußpunkt

H

des Lotes von

C

auf die Gerade g=(AB).
Untersuchen Sie, ob der Punkt

H

zwischen A und

B

liegt. Begründen Sie.

Danke schon mal im Voraus!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Lotfußpunkt auf Ebene
Parallelverschiebung
Rechnen mit Vektoren - Einführung
Rechnen mit Vektoren - Fortgeschritten
Skalarprodukt

Werner-Salomon aktiv_icon

22:03 Uhr, 01.02.2016

Hallo,

ich unterstelle mal, dass Du weißt, wie man aus zwei Punkten die Parameterform einer Geraden aufstellt. Der Punkt

H

liegt zwangsläufig auf dieser Geraden.
Weiter kannst Du Dir zu Nutze machen, dass der Richtungsvektor der Geraden senkrecht auf der Verbindung

\vec{H C}

steht. D.h. das Skalarprodukt beider Vektoren ist 0.

Kommst Du zurecht?

Gruß
Werner

Femat aktiv_icon

22:24 Uhr, 01.02.2016

Hallo
Werner-Salomon hat die wohl eleganteste Lösung schon beschrieben.
Meine Zeichnung zeigt einen alternativen Weg auf:
Eine Ebene normal zur Geraden durch Punkt

C

schneidet die Gerade

g

im Pkt. H.

Werner-Salomon aktiv_icon

22:19 Uhr, 02.02.2016

Hallo Vanessa,

Die Gerade ist

\vec{g} (s) = (\begin{array}{rcl} 2 \\ 0 \\ 3 \end{array}) + s \cdot (\begin{array}{rcl} - 4 \\ 0 \\ - 2 \end{array})

.. das ist korrekt.

Du fragtest weiter: "Welche beide Vektoren werden hier für nun benötigt? Bekomme ich damit dann den Punkt H?"

Der eine Vektor ist der Richtungsvektor in der Geradengleichung

\vec{r} = (\begin{array}{rcl} - 4 \\ 0 \\ - 2 \end{array})

und der andere ist 'die Verbindung

\vec{H C}

\vec{H C} = \vec{c} - \vec{h} = \vec{c} - \vec{g} (s_{H})

\vec{g} (s_{H})

ist der Punkt

H

alias

\vec{h}

auf der Geraden gegeben durch den passenden Parameter

s_{H}

. Es gilt dann

\vec{g} (s_{H}) = \vec{a} + s_{H} \cdot \vec{r}

Skalarprodukt:

\vec{r} \cdot (\vec{c} - \vec{a} - s_{H} \cdot \vec{r}) = 0

=0, da die Vektoren senkrecht aufeinander stehen müssen.

Kannst Du daraus

s_{H}

berechnen und damit wiederum

g (s_{H})

alias

H

?

Gruß
Werner

Stephan4

22:59 Uhr, 02.02.2016

Wenn man den Vektor

\vec{A C}

auf den Vektor

\vec{A B}

projiziert, bekommt man den Vektor

\vec{A H}

\vec{A H} = \frac{\vec{A C} \cdot \vec{A B}}{\vec{A B} \cdot \vec{A B}} \cdot \vec{A B}

Wenn

\vec{A H} < \vec{A B},

dann liegt

H

zwischen A und B.

:-)

Vanessa1901 aktiv_icon

08:42 Uhr, 03.02.2016

Also ist mein Fußpunkt

(2 - 4 r, 0, 2 - 3 r)

?

Und beim Skalarprodukt muss ich das

r

dann so wählen, dass dabei dann 0 heraus kommt, damit es senkrecht ist sprich:

(\begin{matrix} - 4 \\ 0 \\ - 2 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 4 r - 4 \\ - 2 \\ - 6 + 2 r \end{matrix}) = 0

also

(- 16 r + 16 + 12 r - 4 r = O \Rightarrow r = 1,4)

Dann

r

noch in die Gleichung einsetzten um den Punkt

H

zu bekommen?

H (- 3,6, 0, 0,2)

???

Stimmt es nun?
Danke für eure Mühen!!!!!

Stephan4

21:44 Uhr, 03.02.2016

Bis auf einen kleinen Schreibfehler in der ersten Zeile, der aber nicht weiter übernommen wurde, stimmt Dein Ergebnis.

Mit der schon zuvor erwähnten Vektorprojektion ist die Rechnung ein Einzeiler:

\vec{A H} = \frac{\vec{A C} \cdot \vec{A B}}{\vec{A B} \cdot \vec{A B}} \cdot \vec{A B} H = A + \vec{A H}

H = A + \vec{A H} = \frac{(\begin{matrix} - 4 \\ - 2 \\ - 6 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} - 4 \\ 0 \\ - 2 \end{matrix})}{(\begin{matrix} - 4 \\ 0 \\ - 2 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} - 4 \\ 0 \\ - 2 \end{matrix})} \cdot (\begin{matrix} - 4 \\ 0 \\ - 2 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 2 \\ 0 \\ 3 \end{matrix}) + \frac{28}{20} \cdot (\begin{matrix} - 4 \\ 0 \\ - 2 \end{matrix}) = (\begin{matrix} - 3,6 \\ 0 \\ 0,2 \end{matrix})

\vec{A H}

ist also

1,4

mal größer als

\vec{A B}

H

liegt daher nicht zwischen A und B.

Die Formel für die Projektion ist auch hier
de.wikipedia.org/wiki/Formelsammlung_Analytische_Geometrie#Projektionen
zu finden.

:-)

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