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GGT von Polynomen als Linearkombination

Universität / Fachhochschule

Sonstiges

Polynome

Algebraische Zahlentheorie

Tags: ggT, Linearkombination, polynom

henry31 aktiv_icon

20:02 Uhr, 16.07.2018

Hallo Leute,

ich sitze gerade an einigen Aufgaben vom betreffenden Aufgabentyp und komme nicht auf die richtige Lösung. Eventuell könnt' ihr mir weiterhelfen?

Eine der Aufgabe ist folgende:

Beschreiben Sie die Anwendung des erweiterten euklidischen Algorithmus zur Bestimmung von ggT

(f, g)

und

u, v \in R

mit ggT

(f, g) = u \cdot f + v \cdot g

für

f = x^{4} - x + 1

und

g = x^{3} - 2

und

R = Q [x]

.

Wie ich den ggT berechnen kann, weiß ich. Dort komme ich für den normierten ggT auf 1. (nicht normiert:

- 3)

.

Ich habe folgende 3 Zeilen:

x^{4} - x + 1 = (x) \cdot (x^{3} - 2) + (x + 1)

x^{3} - 2 = (x^{2} - x + 1) \cdot (x + 1) + (- 3)

x + 1 = (- \frac{1}{3} x - \frac{1}{3}) \cdot (- 3) + 0

Mein Problem ist immer noch auf das richtige

u

und

v

zu kommen.

Hierbei gehe ich wie folgt vor:

- 3 = (x^{3} - 2) - (x^{2} - x + 1) \cdot (x + 1)

- 3 = (x^{3} - 2) - (x^{2} - x + 1) \cdot [(x^{4} - x + 1) - (x) \cdot (x^{3} - 2)]

- 3 = - (x^{2} - x + 1) \cdot (x^{4} - x + 1) + (x^{3} - x^{2} + x) \cdot (x^{3} - 2)

u = - (x^{2} - x + 1)

v = (x^{3} - x^{2} + x)

Bei der Probe

(u \cdot f + v \cdot g)

komme ich leider nicht auf den gewünschten ggT

(f, g)

.

Ich hoffe jemand kann sich der Sache annehmen und sieht den Fehler :-)

Viele Grüße
Henry

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Polynomfunktionen / ganzrationale Funktionen - Einführung
Rechnen mit Klammern
Teilbarkeit natürlicher Zahlen

michaL aktiv_icon

08:49 Uhr, 17.07.2018

Hallo,

im letzten Schritt hast du das

x^{3} - 2

, das in der Zeile zuvor ganz am Anfang steht, NICHT mit eingerechnet!

Ich denke, dass es von Vorteil ist, die beiden zu betrachtenden Polynome abzukürzen.
* Die Gleichungen werden kürzer.
* Die Gleichungen werden übersichtlicher.

Mfg Michael

PS: Benutzt du kein Computeralgebrasystem (CAS)? Die gibt es doch heutzutage kostenlos?!

henry31 aktiv_icon

19:58 Uhr, 17.07.2018

Hallo Michael,

vielen Dank für deine schnelle Rückmeldung :-) Ich habe wirklich was übersehen.

Entsprechend ändert sich das von

u = (x^{3}

−

x^{2} + x)

auf

u = (x^{3}

−

x^{2} + x + 1)

. Vielen Dank :-) Jetzt passt es.

Wie könnte ich das noch kürzen? die

x^{3}

und

x^{4}

sowie

x^{2}

entfernen?

Ich benutze leider kein CAS-System. Ich habe nur einen alten Mac-Desktop mit OS

X

Snow Leopard, daher weiß ich nicht, welche Programme dafür noch vorhanden sind? Vielleicht gibt es hier entsprechend etwas?

Viele Grüße
Henry

Roman-22

20:35 Uhr, 17.07.2018

Was CAS anlangt, könntest du dir mal MAXIMA ansehen
http//maxima.sourceforge.net/download.html
oder auch dein Glück mit Geogebra versuchen
http://wiki.geogebra.org/en/Reference:GeoGebra_Installation#Mac
Mit deinem OS

10.6

müsstest du entweder die Onlineversion benutzen oder die Classic 5 (die mir ohnedies wesentlich sympathischer als die 6er ist) installieren.

henry31 aktiv_icon

21:26 Uhr, 17.07.2018

Hallo Roman,

vielen Dank für deine schnelle Antwort! :-)

Ich hätte ein ähnliches Problem bei einer anderen, ein wenig komplexeren Aufgabe. Kann ich mit GeoGebra auch die Linearkombination des ggT für 2 Polynome berechnen lassen?

Viele Grüße
Henry

Roman-22

22:42 Uhr, 17.07.2018

Ich arbeite nicht regelmäßig mit Geogebra, vor allem wenig mit dessen CAS Möglichkeiten. Geogebra kann sicher symbolisch mit Polynomen arbeiten und auch den ggT von Polynomen ermitteln. Ob sich darüber Hinausgehendes auf Knopfdruck erledigen lässt, bezweifle ich, aber ev. kannst du dir da selbst was programmieren oder das Programm zumindest dazu verwenden, deine Rechnungen einfacher durchzuführen um Flüchtigkeitsfehler zu vermeiden.
Einfach ausprobieren - kostet ja nix.

henry31 aktiv_icon

08:15 Uhr, 19.07.2018

Ok. Vielen Dank! :-) Ich probier' das mal aus. Sicherlich eine gute Idee das mal selber zu programmieren.

abakus

08:51 Uhr, 19.07.2018

Im Geogebra funktioniert in der CAS-Ansicht die Eingabe
GGT(Term1,Term2)

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