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GRF 2. Gerades aus Wertetabelle bestimmen

Schüler

Tags: Ganzrationale Funktion, Modellierung von Funktionen, Wertetabell

Gykonik aktiv_icon

23:54 Uhr, 26.10.2016

Hey Leute, ich wollte mal fragen, ob es möglich ist eine Ganzrationale Funktion 2. Grades aus einer Wertetabelle mit mehr als 3 Punkten zu erstellen.

Ich hab nämlich festgestellt, das Excel eine wunderbare Funktion hat "Trendlinie erstellen" und damit kann man sich eine solche zu einer Wertetabelle erstellen lassen.

Die Wertetabelle muss dabei (im Falle von Excel) ja nicht exakt die Werte enthalten, die man später auch auf der Funktion wiederfindet..

Deswegen die konkrete Frage:
Gibt es eine(mehrere?) Formel(n?) mit denen man eine solche Funktion annähern könnte, also eine Funktion 2. Grades erstellen, die ungefähr die vorgegebenen Punkte trifft?
Ähnlich wie in dem Thread: www.onlinemathe.de/forum/Funktion-aus-xy-Werten-bestimmen
nur halt nicht mit einer linearen Funktion

Vielen Dank schonmal für eure Antworten :-)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Polynomfunktionen / ganzrationale Funktionen - Nullstellen
Polynomfunktionen / ganzrationale Funktionen - Einführung

Roman-22

01:49 Uhr, 27.10.2016

Such mal nach "Quadratischer Regression".

Gykonik aktiv_icon

12:58 Uhr, 27.10.2016

Ich hab jetzt das hier gefunden:
http//www.mathematik.tu-bs.de/FA-Workgroup/tsonar/VWProjekt/skript24.htm

mit folgender Formel:

F (a, b, c) = \sum_{n = 1}^{n} (a x_{n}^{2} + b x_{n} + c - y_{n})^{2}

Die Formel soll nun an den Stellen a=A, b=B und c=C minimal werden und dafür soll man das ganze nach a, b bzw. c ableiten. Meine Frage ist jetzt:
Wie leitet man das ganze ab und wie mach ich dann weiter nach Anleitung von der Seite, die ich oben verlinkt habe?

anonymous

13:16 Uhr, 27.10.2016

Hallo
Um hier nicht

1000

Worte gebrauchen zu müssen, gestatte, dass ich die fertige Formel hinschreibe.

Die Parabel

y = A \cdot x^{2} + B \cdot x + C

hat die Parameter:

A = \frac{\sum (x^{2} \cdot y) \cdot (n \cdot \sum (x^{2}) - \sum (x) \cdot \sum (x)) + \sum (x \cdot y) \cdot (\sum (x) \cdot \sum (x^{2}) - n \cdot \sum (x^{3})) + \sum (y) \cdot (\sum (x) \cdot \sum (x^{3}) - \sum (x^{2}) \cdot \sum (x^{2}))}{D}

B = \frac{\sum (x^{2} \cdot y) \cdot (\sum (x) \cdot \sum (x^{2}) - n \cdot \sum (x^{3})) + \sum (x \cdot y) \cdot (n \cdot \sum (x^{4}) - \sum (x^{2}) \cdot \sum (x^{2})) + \sum (y) \cdot (\sum (x^{2}) \cdot \sum (x^{3}) - \sum (x) \cdot \sum (x^{4}))}{D}

C = \frac{\sum (x^{2} \cdot y) \cdot (\sum (x) \cdot \sum (x^{3}) - \sum (x^{2}) \cdot \sum (x^{2})) + \sum (x \cdot y) \cdot (\sum (x^{2}) \cdot \sum (x^{3}) - \sum (x) \cdot \sum (x^{4})) + \sum (y) \cdot (\sum (x^{2}) \cdot \sum (x^{4}) - \sum (x^{3}) \cdot \sum (x^{3}))}{D}

D = n \cdot \sum (x^{2}) \cdot \sum (x^{4}) - \sum (x) \cdot \sum (x) \cdot \sum (x^{4}) + 2 \cdot \sum (x) \cdot \sum (x^{2}) \cdot \sum (x^{3}) - n \cdot \sum (x^{3}) \cdot \sum (x^{3}) - \sum (x^{2}) \cdot \sum (x^{2}) \cdot \sum (x^{2})

Gykonik aktiv_icon

13:18 Uhr, 27.10.2016

Vielen Dank erstmal :-)

Dann würde ich einfach für x und y immer meine Punkte (z.B. 10 Punkte) einsetzen und das dann immer ausrechnen? :-)

anonymous

13:21 Uhr, 27.10.2016

ja, gute Idee.
:-)

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13:24 Uhr, 27.10.2016

Gott wird das lange dauern... :-D)

Vielen Dank schonmal, das mache ich dann heute Abend. Ich melde mich dann bei ggf. auftretenden Problemen, hab ja durch Excel eine Ahnung, wie die Funktion aussehen muss :-)

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13:31 Uhr, 27.10.2016

Und ist das, was du mir geschickt hast "einfach" die Ableitung?

Und N ist die Anzahl der Punkte, richtig?

EDIT:
Und gibt es irgendeinen Rechner, der die Summen rechnen kann? Dann muss ich das nicht jede Summe per Hand machen... :-D)

anonymous

13:53 Uhr, 27.10.2016

"Und ist das, was du mir geschickt hast "einfach" die Ableitung?"
Es ist die Ableitung, Minimierung (Ableitung=0) und Gleichungsumstellung nach den Unbekannten

A, B, C

.

Ja richtig,

n

ist die Anzahl der Punkte.

"Und gibt es irgendeinen Rechner, der die Summen rechnen kann?"
Ja, du hattest zB. schon Excel erwähnt...

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15:48 Uhr, 28.10.2016

Hey, ich hab jetzt mal versucht, den 1. Parameter (A) auszurechnen, komme jedoch nicht auf ein sinnvolles Ergebnis...

Als Ergebnis für A habe ich 1.68 aber Excel sagt mir, dass der Graph mit 0.004x² beginnen sollte, was auch Sinn ergibt und was ich auch kontrolliert habe.

Nun ist meine Frage: Was habe ich falsch gemacht?...
Ich hab folgende 18 Punkte:
docs.google.com/spreadsheets/d/1vSOYUMSJgzHRPTnjyu9m7lSFnWdFAxGoAxI0xs4_wO8/edit?usp=sharing

Jedoch komme ich da nicht auf das richtige Ergebnis... :/

Sag bescheid, wenn du/ihr noch irgendwelche Rechnungen braucht. Ich häng sie hier der Einfachheit halber nicht direkt dran, weil das relativ lange dauern würde.. :-D)

Gykonik aktiv_icon

18:06 Uhr, 28.10.2016

Ok, hab mich verrechnet. Ist jetzt richtig! :-)

Magst du denn ganz kurz erläutern, wie du denn auf diese wirren Formeln gekommen bist? :/
Also hast du das echt "nur" abgelitten? Und wie hast du das hinbekommen und so :o :-D)

Roman-22

18:30 Uhr, 28.10.2016

Ich kann dir hier nur das Ergebnis von Excel bestätigen.
Für solche Aufgaben hat man ja elektronische Rechenknechte.
Ob sich also in die Terme, die kreador angegeben hat, ein Fehler eingeschlichen hat, oder ob du dich schlicht verrechnet hast, möchte ich nicht wirklich überprüfen.
EDIT: Lese gerade, dass du nun mit kreadors Formel doch auf das richtige Eregbnis gekommen bist. Was die Herleitung anlangt, solltest du, wie schon geschrieben, dich in die Literatur zur quadratischen Regression einlesen.

Die Frage die sich mir stellt ist, wofür du das ganze brauchst und woher die Daten stammen. Es scheint, als ob es sinnvoller wäre, erst die offensichtlichen Ausreißer auszuschließen, dann würde der nachfolgende Polynomialfit deutlich besser passen.

Außerdem könnte ja

u . U

. eine andere Funktion besser passen, warum also partout Polynom zweiten Grades? Eine Parabel würde schon recht gut passen, aber ähnlich gut würde sich auch der Kehrwert eines Polynoms zweiter Ordnung machen oder ein Sinus.

Die Ausreißer beeinflussen zum Teil ziemlich stark das Ergebnis, wie die zweite Grafik mit Polynomen höherer Ordnung zeigt. Der Graph der Polynomfunktion

17

. Grades läuft natürlich exakt durch alle

18

Punkte, ist aber trotzdem sicher nicht das erwartete Ergebnis wegen der starken Oszillation.

R

EDIT: Vielleicht kann dir, was die Herleitung angeht,
http//www.farmingdale.edu/faculty/sheldon-gordon/RecentArticles/quadratic-regression-equation.doc
oder auch
http//polynomialregression.drque.net/math.html
als Startpunkt dienen.
Im Netz finden sich natürlich noch viele weitere Quellen, die dir nützlich sein können.

Wenn dir Matrizenmultiplikation geläufig ist, kannst du die Bestimmung der Koeffizienten

A, B

und

C

der gesuchten Funktion

y = A \cdot x^{2} + B \cdot x + C

auch über das Gleichungssystem

(\begin{matrix} \sum x^{4} & \sum x^{3} & \sum x^{2} \\ \sum x^{3} & \sum x^{2} & \sum x \\ \sum x^{2} & \sum^{x} & n \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} A \\ B \\ C \end{matrix}) = (\begin{matrix} \sum x^{2} y \\ \sum x y \\ \sum y \end{matrix})

bewerkstelligen. Das sollte auch ein einfacher Matrixrechner schaffen.
Die schlampige Notation soll dabei zB bedeuten:

\sum x^{2} y = \sum_{i = 1}^{n} (x_{i}^{2} \cdot y_{i})

n

ist die Anzahl der Datenpunkte und

x,

bzw.

y

bedeuten dabei die Vektoren aus den entsprechenden Koordinaten und sind nicht zu verwechseln mit

x

und

y

in der Funktionsgleichung y=Ax12+Bx+C.
Auf das lineare Gleichungssystem kommt man, wenn man de quadratische Regression in eine Serie von linearen Regression zerlegt.
Weitere Theorie zur Herleitung aber bitte der entsprechenden Fachliteratur entnehmen.

Gykonik aktiv_icon

19:47 Uhr, 28.10.2016

Kurze Zusammenfassung:
Ich hab die Punkte gemessen und die Aufgabe ist eine Funktion in Abhängigkeit von x zu erstellen. Welche wurde nicht vorgegeben...

Da dachte ich, dass dine 2. Grades am sinnvollsten ist...

Und Matrizebmultiplikation ist mir geläufig, allerdings nicht in solch einer Form, nur mit Zahlen und ekner Variablen Matrix/Vektor:-P)

Roman-22

20:55 Uhr, 28.10.2016

>

Und Matrizebmultiplikation ist mir geläufig, allerdings nicht in solch einer Form, nur mit Zahlen und ekner Variablen Matrix/Vektor:-P))
Das meinte ich ja. Anstatt das Gleichungssystem allgemein aufzulösen und auf die Ausdrücke zu kommen, die kreador dir genannt hat, könntest du bei konkret vorliegenden Daten

x

und

y

die angegebenen Summen berechnen und einsetzen und hättest dann ein ganz normales Gleichungssystem, eben eines mit nur Zahlen und einem Vektor mit den drei Variablen

A, B

und

C

;-) Das kannst du nun nach einer Methode deiner Wahl lösen

- u . u

. auch von deinem TR lösen lassen, so er diese Funktion anbietet. Mit deinen Daten - siehe Anhang.

Ich weiß ja nicht, in welchem Zusammenhang man euch diese Aufgabe gestellt hat. Vielleicht solltest du ja nur deine gemessenen Daten erst plotten, vermuten, dass hier ein quadratischer Zusammenhang bestehen könnte und dann nimm einfach einen Punkt weit links, einen von weit rechts und einen von der Mitte und stelle mit diesen drei Punkten die Gleichung einer Parabel auf.
Denn ich glaube nicht, dass nichtlineare Regression Schulstoff ist - jedenfalls nicht inklusive der Herleitung. Eher noch in der Art "Schau, das ist Excel, wähl dieses Menü, drück diesen Button und schau, was da Schönes rauskommt".

R

Gykonik aktiv_icon

00:27 Uhr, 29.10.2016

Okay, das mit den Matrizen sind schon bisschen heftig aus.. :-D)
Aber das ist ja viel, viel, viel einfacher, oder?... :o

Ich hab jetzt folgendes von der Quadratischen Regression verstanden:
Man Versucht bei der Gleichung

F (a, b, c) = \sum_{n = 1}^{n} (a x_{n}^{2} + b x_{n} + c - y_{n})^{2}

die Werte für a,b und c zu finden bei denen A, B und C minimal werden.

Wahrscheinlich eine blöde Frage, aber dennoch:
Was sind denn die Parameter A, B und C in der Gleichung?

Und hier www.mathematik.tu-bs.de/FA-Workgroup/tsonar/VWProjekt/skript24.htm steht ja, dass man das macht indem man die Formel ableitet, du/ihr habt mir aber gerade eben gesagt, ihr kommt auf das Gleichungssystem, welches mir @kreadoor gestellt hat, indem man aus der Quadratischen Regression eine Serie Linearer Regressionen macht.
Meine Frage ist nun, wie man das denn anstellen würde. Also jetzt ganz allgemein, wie man aus einer quadratischen Regression eine Serie linearer Regressionen macht. Ich hab schon ein wenig gegoogelt aber nichts (glaube ich) brauchbares gefunden. Hat jemand einen nützlichen Link oder so? :-)

Ps:
Das (http//www.farmingdale.edu/faculty/sheldon-gordon/RecentArticles/quadratic-regression-equation.doc) hat mir nicht wirklich weiter geholfen. Da wird zwar (so wie ich es verstanden habe) sowas hergeleitet, aber das hat null mit dem von @kreadoor geposteten LGS zu tun...

Roman-22

00:59 Uhr, 29.10.2016

>

Okay, das mit den Matrizen sind schon bisschen heftig aus.. :-D))
Naja, ich finde, dass es übersichtlicher kompakter und leichter zu merken ist, als die fertige allgemeine Lösung. Im Übrigen ist das, was kreador mit

D

abgekürzt hat, ohnedies nur die Determinante der von mir angegebenen Koeffizientenmatrix.

>

Aber das ist ja viel, viel, viel einfacher, oder?...

: o

Wirklich?
Her damit!

>

Man Versucht bei der Gleichung F(a,b,c)=∑n=1n(axn2+bxn+c−yn)2 die Werte für

a, b

und

c

zu finden bei denen

A, B

und

C

minimal werden.
Ja genau - man quadriert die Abweichungen (Residuen) und versucht, ihre Summe zu minimieren. Stichwort "Methode der kleinsten Quadrate", "Least squares fit".

a, b, c

ist hier übrigens genau das, was kreador mit

A, B

und

C

bezeichnet hat und ich dann, um Verwirrungen zu minimieren, übernommen habe.

Dabei ist es relativ egal, welche Art von Funktion man sich da gefügig machen möchte - je nachdem, welche Art von Funktion man fitten möchte verwendet man hier in der Regel meist iterative Näherungsverfahren wie Levenberg-Marquardt, konjugierte Gradienten oder andere Derivate des Newton-Verfahrens. Und damit ist klar, dass diese Idiotenarbeit nur etwas für einen Rechenknecht ist.
Für Polynom-Funktion kann man das ganze aber auch relativ leicht exakt und allgemein durchrechnen und kommt dann eben (auf die eine oder andere Weise) auf das von mir angegebene Gleichungssystem, dessen Lösung dir kreador allgemein angegeben hat.
ich denke, dass du in einem der Links, die ich gepostet habe, eine herleitung, oder zumindest dessen Anfang zu finden sein sollte. Mag aber durchaus sein, dass Bezeichnungen und Notation von der hier gegebenen etwas abweichen.

Wenn du aber meinst, diese Lösung könne man auch viel einfacher erhalten, dann poste doch bitte mal diese Methode ;-)

>

Und hier www.mathematik.tu-bs.de/FA-Workgroup/tsonar/VWProjekt/skript24.htm steht ja, dass man das macht indem man die Formel ableitet, du/ihr habt mir aber gerade eben gesagt, ihr kommt auf das Gleichungssystem, welches mir @kreadoor gestellt hat, indem man aus der Quadratischen Regression eine Serie Linearer Regressionen macht.

Ja,. es führen eben viele Wege nach Rom. Wenn du, so wie in dem Link kurz angedeutet, die drei partiellen Ableitungen dieser Summenfunktion in

a, b, c

jeweils Null setzt, solltest du genau die drei linearen Gleichungen in

a, b, c

erhalten, die ich in Matrixform angegeben habe und deren Lösung dir kreador gepostet hat.
Mach dir mal den Spass und bilde

\frac{\partial}{\partial a} \sum_{i = 1}^{n} {(a \cdot x_{i}^{2} + b \cdot x_{i} + c - y_{i})}^{2} = 0

Du solltes nach einigen Umformungen eine der drei Gleichungen wie angegeben erhalten.
Das gleiche noch mit partiell nach

b

und dann nach

c

und die bist im Spiel.

>

aber das hat null mit dem von @kreadoor geposteten LGS zu tun...
formulieren wir lieber so - du siehst den Zusammenhang halt nicht ;-)
kreador hat übrigens nicht das LGS gepostet, sondern "nur" dessen allgemeine Lösung.

kreador hat schon gewusst, warum er einleitend "Um hier nicht

1000

Worte gebrauchen zu müssen, " geschrieben hat. Hier ist eben nicht der richtige Ort, um ganze Abhandlungen, die in guten Fachbüchern ohnedies bereits oft genug abgedruckt sind, nochmals zu verfassen. Die meisten von uns würden wohl auch nicht die Zeit und Muße finden, das zu tun.

Gykonik aktiv_icon

13:28 Uhr, 29.10.2016

Bevor ich mich an die Partiellen Integration mache:
Kann ich einfach so den Term

F (a, b, c) = \sum_{n = 1}^{n} (a x_{n}^{2} + b x_{n} + c - y_{n})^{2}

integrieren, oder muss ich den erst in lineare Regressionen auflösen, so wie ihr mir das weiter oben gesagt habt? Wenn ja wie löse ich das auf?
Und wenn nein versuch ich es einfach mal :-)

Ps:
Das mit dem leichter hast du falsch verstanden, ich meine, dass das mit der Matrix viel leichter ist, als die ganzen Gleichungssysteme, nicht dass ich einen leichteren Weg gefunden habe :-P)

Roman-22

15:52 Uhr, 29.10.2016

>

Kann ich einfach so den Term F(a,b,c)=∑n=1n(axn2+bxn+c−yn)2 integrieren, oder muss ich den erst in lineare Regressionen auflösen,

Die Aufteilung in lineare Regressionen und die Auffassung der Aufgabe als mehrdimensionale Extremwertaufgabe sind leicht unterschiedliche, aber gleichwertige Ansätze die auf das gleiche GLS führen.

Aber warum möchtest integrieren?? Nehme an, du meintest differenzieren.
Was du mit "einfach so" meinst, weiß ich nicht genau.
Zunächst solltest du in der Bezeichnung zwischen Anzahl der Datenpunkte und dem Laufindex der Summe unterscheiden und nicht beides

n

nennen.
Da es sich um eine Summe handelt, kannst du jeden Summanden einzeln differenzieren, das Ergebnis ist wieder eine Summe. Außerdem könnte es nützlich sein, das Polynom vorher auszuquadrieren und damit die Kettenregel zu vermeiden und einfachere Ausdrücke zu erhalten.

Gykonik aktiv_icon

19:12 Uhr, 29.10.2016

Gott, ich hab Partiell Integrieren gelesen, hab mich schon gewundert... :-D)
Dann guck ich nachher mal :-)

Gykonik aktiv_icon

00:18 Uhr, 31.10.2016

Ich hab das jetzt mal versucht auszumultiplizieren und scheitere daran glaube ich schon

Ist in der Rechnung im Anhang ein Fehler? Und kann ich das Ergebnis noch vereinfachen?

Und falls das richtig ist, würdet ihr die einzelnen Summen aufteilen, um somit für jeden Summanden eine Summe zu haben, die man "schöner" ableiten kann, oder wie würdet ihr dann vorgehen? :-)

Edit:
Und ist die Formel, die @kreador ganz zu beginn geschickt hat zu 100% richtig?
Weil ich bei B einen stark abweichenden Wert raus habe, als Excel es meint. Die Frage ist jetzt, ob ich mich mal wieder vertan habe, oder ob sich kreador vertippt hat :-P)

anonymous

09:25 Uhr, 31.10.2016

"Und ist die Formel, die @kreador ganz zu beginn geschickt hat zu

100 %

richtig?"

Ich habe die Regression vor einem halben Leben in Excel programmiert und seither so oft genutzt, plausibilisiert, kontrolliert und bestätigt gefunden, dass ich keine Zweifel habe, dass sie dort korrekt ist.

Zur Beantwortung dieser Frage hier im onlinemathe habe ich die Formel per copy-and-paste in einen Editor kopiert. Dort musste ich per 'suchen und ersetzen' die Einzelausdrücke in onlinemathe-Formeldarstellungs-gerechte Bezeichner ändern.
"Getippt" habe ich überhaupt nichts. Deshalb werde ich mich auch kaum "vertippt" haben.

Keiner ist perfekt. Ich will nicht behaupten, dass die Formel fehlerfrei ist.
Ich will aber so unbescheiden sein, dass die Fehlerwahrscheinlichkeit erheblich kleiner, die Zuverlässigkeit erheblich höher ist, als das durchschnittliche Onlinemathe-Niveau.

Roman-22

10:12 Uhr, 31.10.2016

>

Ist in der Rechnung im Anhang ein Fehler?
Mehrere:

1)

Wenn es

n

Datenpunkte sein sollen, dann wird

i

in der Summe von 1 weg laufen und nicht von 0

2)

Da du ja alle

x -

und y-Werte mitspielen lassen musst und nicht nur die letzten, heißt es nicht

x_{n}

und

y_{n}

sondern

x_{i}

und

y_{i}

3)

Fehler beim Ausquadrieren in der vorletzten Zeile, zweiter Summand. Da fehlt ein

b

4)

Vorletzte Zeile, letzter Summand - da gehört wohl ein "+" zwischen

y_{i}

und

y_{i}^{2}

.

Und ich fürchte - nein, das lässt sich nicht mehr wesentlich vereinfachen.
Das Aufstellen des Gleichungssystems und das nachfolgende Lösen "zu Fuß" ist sicher eine lustige Aufgabe für lange Winterabende - viel Spaß!
Vielleicht möchtest du ja doch dem schon weiter oben geäußerten Ansatz näher treten, einfach drei Punkte auszuwählen und die Gleichung der zugehörigen Parabel aufzustellen ;-)

Was die Richtigkeit von kreadors Ausdrücken anlangt, so habe ich dir einmal das von mir gepostetete GLS lösen lassen (siehe Anhang) und du kannst, wenn die Lust hast, mit kreadors Termen vergleichen. Die numerische Lösung für die Koeffizienten kannst du ja auch meinem weiter oben geposteten Plot entnehmen - gehe davon aus, dass diese mit deinem Excel-Ergebnis übereinstimmen.

Gykonik aktiv_icon

10:42 Uhr, 31.10.2016

@Kreador, glaub ich dir danb mal :-)

@Roman wie muss ich denn jetzt weiter machen, wenn ich die Gleichung jetzt richtig ausmultipluziert habe?
Erst nach irgendwas umstellen und dann Ableiten? Und wie löse ich dann die Summe nach A, B, C auf?

Bitte einmal kurz den Ablauf des Umformens anschneiden :-)

Roman-22

10:53 Uhr, 31.10.2016

f (a, b, c)

minimiert werden soll, musst du den Gradient, also den Vektor, der aus den drei partiellen Ableitungen von

f

nach

a, b,

und

c

besteht, Null setzen. Damit erhältst du drei

(\in

deinem Fall sympathischerweise lineare) Gleichung in

a, b

und

c

.
Dieses Gleichungssystem ist danach nach einer Methode deiner Wahl zu lösen.
Danach wäre theoretisch auch noch zu klären, ob es sich tatsächlich um ein Minimum handelt.

Falls dir aber nicht klar ist, warum du so vorgehen musst, weil dir Extremwertsaufgaben in höheren Dimensionen nicht geläufig sind, dann würde ich mir an deiner Stelle entweder etwas anderes überlegen, oder aber die fertigen Ausdrücke einfach als gegeben annehmen.

Gykonik aktiv_icon

17:18 Uhr, 31.10.2016

Also im Anhang kannst du sehen, dass ich jetzt mal versucht habe, die partiellen Ableitungen zu bilden. Hab ich dass den bis dato richtig gemacht?

Und wenn ja, wie mache ich jetzt weiter, kann ich die drei Gleichungen dann "einfach" nach a,b, bzw. c auflösen? Und wie verfahre ich mit dem Summensymbol... :-D)

Zur Erläuterung:
Ich möchte die Herleitung relativ gerne selber verstehen, weil ich es immer lieber mag, etwas verstanden zu haben, als es einfach "hingeklatscht" zu bekommen (nichts gegen dich @Kreadoor ich hab deine Einwände mit den 1000 Worten verstanden :-P) ) deswegen frage ich und fände es super, wenn ihr mir noch ein wenig unter die Arme greifen würdet :-)

@Kreadoor jap, deine Formeln stimmen! Also kannst du dich zurecht so sicher fühlen und loben ^^

Roman-22

21:22 Uhr, 31.10.2016

>

Hab ich dass den bis dato richtig gemacht?
Im Wesentlichen, ja.
Was man bemängeln kann ist, dass du die Ausdrücke in den Summen nicht in Klammer setzt, damit klar ist, das das alles summiert wird und natürlich darfst du das zwei mal auftretende

x_{i}^{2} \cdot x_{i}

x_{i}^{3}

zusammenfassen.

Nach dem Nullsetzen würde ich durch 2 teilen und die Summen jeweils in ein Einzelsummen aufteilen.

Am Beispiel der letzten Gleichung:

\sum_{i = 1}^{n} (2 a x_{i}^{2} + 2 b x_{i} + 2 c - 2 y_{i}) = 0

a \cdot \sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} + b \cdot \sum_{i = 1}^{n} x_{i} + c \cdot \sum_{i = 1}^{n} 1 = \sum_{i = 1}^{n} y_{i}

a \cdot \sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} + b \cdot \sum_{i = 1}^{n} x_{i} + c \cdot n = \sum_{i = 1}^{n} y_{i}

Das ist genau einer der Gleichungen, die sich auch bei meiner ursprünglich geposteten Form des GLS ergeben
Bild6

Und jetzt gehts dann ans Eingemachte - das (zum Glück lineare) Gleichungssystem ist nach einer Methode deine Wahl zu lösen. Cramer, inverse Matrix, Gauss,

...

. wähle deine Waffen.

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00:43 Uhr, 01.11.2016

Jetzt hab ichs! (siehe Anhang)

Und morgen/nachher geht's dann ans LGS-Lösen mit Gaus :-)

EDIT:
Wieso hast du in der Formel nur

y_{i}

aber in der Matrix

\sum y

? Das zweite ist richtig, oder?

Roman-22

00:59 Uhr, 01.11.2016

Ja, da fehlte vorhin das Summenzeichen vor

y_{i}

.
Habs mittlerweile ergänzt.

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23:15 Uhr, 01.11.2016

Hey, ich wollte das jetzt mit dem Gauß-Verfahren lösen, indem ich die angehängte Matrix in die Treppennormalform überführe. Jedoch fehlt mir irgendwie der Anfang, ich stehe ein wenig auf dem Schlauch. Kann mir jemand den Ersten 1-2 Schritte kurz hinschreiben? (geht auch ohne Formel, quasi einfach gesagt sowas wie "Tausche 1 mit 2", dass ich quasi einen Anfang bekomme...

Danke :-)

Roman-22

23:45 Uhr, 01.11.2016

Du kannst dir ja die diversen Summen mit einfacheren Bezeichnern abkürzen, damit es nicht so abschreckend aussieht.

1.Zeile stehen lassen

Die neue zweite Zeile könnte entstehen, indem du die erste mal

\sum x^{3},

die zweite mal

\sum x^{4}

rechnest und die beiden dann subtrahierst. Da hast du dann schon mal deine erste Null.

Die neue dritte Zeile ist dann erste mal

\sum x^{2}

weniger dritte mal

\sum x^{4}

. Und schon ist die zweite Null da.

Jetzt ist es nur noch ein weiterer kleiner Schritt bis zur letzten fehlenden Null und damit zur ZSF.

Gykonik aktiv_icon

23:05 Uhr, 02.11.2016

Hey, ich bin doch zu blöd um den "einen kleinen Trick" herauszufinden...
Ich verzweifle im Moment :-D)

Im Anhang kannst du sehen, wie weit ich schon bin (durch deine "Umformungstipps" :-P)) und jetzt weiß ich nicht, wie ich die zweite Null in der 3. Zeile da hin bekomme :/

Ich habe die Vermutung, dass ich irgendwie die 2. Zeile umformen muss und von der 3. subtrahieren muss aber um ehrlich zu sein weiß ich es nicht...

PS:
Ja ich weiß, ich hätte mir die auch andere Buchstaben oder so für die ganzen Symbole ausdenken können, war mir aber gerade zu kompliziert :-D)

Roman-22

23:27 Uhr, 02.11.2016

>

Ich habe die Vermutung, dass ich irgendwie die 2. Zeile umformen muss und von der 3. subtrahieren
Natürlich - das ist doch immer das gleiche Schema.

Du multiplizierst die zweite Gleichung mit dem, was in der dritten Gleichung in der zweiten Spalte steht und du multiplizierst die dritte Gleichung mit dem, was in der zweiten Gleichung in der zweiten Spalte steht und dann subtrahierst du die beiden hübschen Termmonster voneinander um die neue dritte Zeile mit den beiden Nullen zu erhalten.

Gykonik aktiv_icon

21:17 Uhr, 03.11.2016

Ja, da hast du schon recht, war blöd.. :-D)

Im Anhang siehst du jetzt meine (hoffentlich) fertige Treppennormalform, oder kann ich da noch irgendwas kürzen? Ich kenn mich mit "Summenalgebra" nicht gut aus.. :-D)

Und im 2. Anhang seht ihr, wie ich kläglich versucht habe, c aus der Treppennormalform zu ermitteln, hat aber leider nichts mit dem c von @kreadoor

anonymous

22:17 Uhr, 03.11.2016

Hallo
Im sichtbaren Teil zur Auflösung von

c

hast du offensichtlich Zähler und Nenner vertauscht.

Dann immerhin sind durchaus schon ansatzweise Verwandtschaften zu erahnen.
Ganz stimmig ist es natürlich noch nicht.
Aber grundsätzlich ahnst du nun, wie's geht.
:-)

Gykonik aktiv_icon

22:52 Uhr, 03.11.2016

Es gibt nichts "unsichtbares" zwischen dem 1. und 2. Anhangbild, das hab ich direkt aus der Treppennormalform geschlussfolgert..

Klar! Zähler und Nenner habe ich ausversehen vertauscht, blöd.. :-D)

Trotzdem verstehe ich nicht, wieso du trotzdem etwas anders für c raus hast... :/

Gykonik aktiv_icon

13:23 Uhr, 04.11.2016

Könnt ihr mal kurz über die Matrizen im Anhang drüber gucken?
Ich glaube nämlich, dass ich Klammern bei den Summenzeichen setzen muss, oder?
Und wenn ja, kann ich sie einfach "normal" ausmultiplizieren?

Gykonik aktiv_icon

20:59 Uhr, 05.11.2016

Wieso wird mir angezeigt, dass ich keine Interesse mehr an der Frage habe?...

Roman-22

11:48 Uhr, 06.11.2016

In der dritten Zeile der Rechnung (beim Erzeugen der zweiten Null) hast du vergessen, die Umformungen auch in der rechten Spalten durchzuführen. Du hast dort fälschlicherweise nur

\sum y

stehen.

Und - ja, du musst bei Summen natürlich Klammern setzen und kannst "normal" ausmultiplizieren.
In die Falle, einfach die Argumente der Summen zu multiplizieren, bist du ja ohnedies nicht getappt und dir ist offenbar klar, dass zB

\sum x^{2} \cdot \sum x \neq \sum x^{3}

.
Man könnte bestenfalls schreiben

\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} \cdot \sum_{j = 1}^{n} x_{j} = \sum_{i = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{n} (x_{i}^{2} \cdot x_{j}),

was die Sache aber nicht vereinfacht.

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