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Galoisgruppe auflösbar
Universität / Fachhochschule
Gruppen
Tags: Gruppen
 
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"Man zeige, dass die Galoisgruppe vom Polynom auflösbar ist" Es bezeichne die k-te 5. Einheitswurzel. Dann ist Also existiert ein Zerfällungskörper und somit müsste auch die zugehörige Galois-Gruppe auflösbar sein. Aber wie begründe ich das? Ich denke, ich bin schon fertig. Aber es kann natürlich sein, dass man die Galoisgruppe noch extra aufstellen muss und dann alle Untergruppen bilden muss und dann die zugehörigen Quotientengruppen der zugehörigen Subnormalreihen und zeigen, dass diese dann kommutieren. Aber muss es wirklich so kompliziert sein? Ich habe ja schon gezeigt, dass es vollkommen zerfällt. Wäre wieder für Hilfe dankbar, liebe Mathematiker und Mathematikerinnen! :-) Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
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"Aber es kann natürlich sein, dass man die Galoisgruppe noch extra aufstellen muss" Danach ist doch nicht gefragt. Warum sollst du die dann aufstellen? Aber bei Interesse schau hier rein: math.stackexchange.com/questions/1072830/galois-group-of-the-splitting-field-of-the-polynomial-x5-2-over-mathbb-q |
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Naja, wie will man sonst zeigen, dass die Galoisgruppe auflösbar ist, wenn man sie nicht kennt? Aber im Prinzip bist du mit meinem Beweis zufrieden, oder? |
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Auflösbarkeit kann man auch zeigen, ohne Gruppe genau zu kennen. Aber die Gruppe ist auch nicht schwer zu beschreiben. S. hier: math.stackexchange.com/questions/2772017/show-galois-group-of-ft-t5-3-over-mathbb-q-is-solvable Ob Deine Lösung ok ist, hängt davon ab, wie bei euch die Auflösbarkeit definiert wurde und was sonst bekannt ist. |
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Hallo DrBoogie! Also folgendes ist benutzbar: (Hauptsatz zur Auflösbarkeit polynomialer Gleichungen durch Radikale): "Sei ein nicht-konstantes Polynom. Dann ist genau dann über durch Radikale auflösbar, wenn die Galoisgruppe von über auflösbar ist" "Sei eine endliche Körpererweiterung und sei eine Einheitswurzel. Dann gilt: Sei eine Galoiserweiterung. Dann ist die Gruppe genau dann auflösbar, wenn die Gruppe auflösbar ist. Der Hauptsatz oben liefert ja schon verdammt nahe das zu zeigende Resultat. Schade aber, dass oben keine Körpererweiterung erwähnt wurde. Unser Polynom ist ja leider nur in den irrationalen Zahlen und in den komplexen Einheitswurzeln unterwegs, auch wenn es rationale Koeffizienten gibt. Hast du einen Tipp für mich, wie man den obigen Satz auf das Polynom trotzdem anwenden könnte? P.S. Danke für deine Links zu den Galois Gruppen. Werde ich mir ansehen. Daweil wollte ich auch noch versuchen, es mit unserem Skript in Einklang zu bringen und zu hoffen, dass es ei Korollar aus einem wichtigen Satz ist. Aber es scheint nur fast zu sein und nirgendwo genau daraus zu folgen. |
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"Der Hauptsatz oben liefert ja schon verdammt nahe das zu zeigende Resultat. Schade aber, dass oben keine Körpererweiterung erwähnt wurde. Unser Polynom ist ja leider nur in den irrationalen Zahlen und in den komplexen Einheitswurzeln unterwegs, auch wenn es rationale Koeffizienten gibt." Ich verstehe leider gar nicht, was du meinst. "Hast du einen Tipp für mich, wie man den obigen Satz auf das Polynom trotzdem anwenden könnte?" Wenn du den Satz nutzen willst, musst du halt zeigen, dass durch Radikale auflösbar ist. Dazu musst du zeigen, dass es eine passende Radikalerweiterung von gibt. Es ist nicht schwer zu sehen, dass so eine Radikalerweiterung ist. |
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Der Grund warum ich so "still" wirke liegt darin, dass ich am Überlegen bin wie man das beweisen kann. Aber ich versuche es mal: Ich muss also zeigen, dass eine Radikalerweiterung ist. Beweis: Die Nullstellen von sind Dabei ist eine 5. Einheitswurzel, also eine Nullstelle vom 5. Kreisteilungspolynom Vermöge ist eine Körperkette der gewünschten Form, ist eine Nullstelle von . Bist du mit dem Beweis zufrieden? |
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Ich finde, dass du es komisch aufschreibst. Du hast eine Körpererweiterung mit dem Zwischenkörper und du musst nur zeigen, dass beide Erweiterungen und einfach sind. Sie sind per Konstruktion einfach, weil und . Mehr gibt's nicht zu zeigen. Hier noch einmal die Definition: de.wikiversity.org/wiki/K%C3%B6rpertheorie/Radikalerweiterung/Definition |
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