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Gauß-Algorithmus
Universität / Fachhochschule
Tags: Lineare Algebra
 
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anonymous 14:14 Uhr, 15.02.2005  |
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Hallo zusammen: Ich brauche dringend euere Hilfe: Am Donnerstag steht meine Mathe Klausur an&ich verstehe diese Aufgabe nicht! Bitte helft mir: Gegeben ist das Endtableau eines Gaußalgorithmus: 1 3 3 2 | 3 0 1 0 -1 | 0 0 0 0 0 | 0 Geben Sie folgende Größen an: a) Dimension des Lösungsraumes b) eine spezielle Lösung c) Lösungsgesamtheit d) Befindet sich der Punkt (1 1 1 1) in der Lösungsmenge!! Das Verfahren des Gaußalgorithmus ist klar, aber diese Aufgaben nicht! Bitte um Hilfe: Gruß Markus |
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Hallo Markus wenn dir das nicht klar ist, dann würde ich dir dringend raten, die Theorie zu "Auflösen eines linearen Gleichungssystems" zu repetieren. Zu 1) Es gilt: falls das Gleichungssystem überhaupt Lösungen hat: Die Dimension des Lösungsraumes ist gleich der Anzahl Unbekannten minus die Anzahl Zeilen, die nicht aus lauter Nullen bestehen. Bei dir sind das 4 Unbekannte, und es gibt noch 2 Zeilen, die nicht die Nullzeile sind. Somit ist die Dimension des Lösungsraumes = 2. Zu 2) Die 3. und 4. Unbekannte sind die Freien Variablen (sie befinden sich rechts der Diagonalen). Am besten setzt man einfach die freien Variablen = Null und löst nach den anderen auf. Dann erhält man als spezielle Lösung: (3 0 0 0) Zu 3) Mache aus dem Inhomogenen Gleichungssystem ein homogenes, und setze die 1. Freie Variable = 1, die anderen freien Variablen = 0. Dann löst du nach den anderen Variablen auf. Also: die 3. Unbekannte = 1, die 4. Unbekannte = 0, und nach der 1. und 2. Unbekannten auflösen. Damit erhältst du einen "Richtungsvektor" der Lösungsmenge. Hier also (-3 0 1 0). Das Gleiche macht man auch mit der 2. freien Variablen: Setze die 4. Unbekannte = 1, die 3. Unbekannte = 0, und löse (immer noch das homogene Gleichungssystem) nach den ersten 2 Unbekannten auf. Damit erhältst du als 2. "Richtungsvektor": (-5 1 0 1) Somit lautet die Lösungsgesamtheit: (3 0 0 0) + r*(-3 0 1 0) + s*(-5 1 0 1) Zu 4) Du kannst den Punkt einfach einsetzen, oder aber auch überlegen, dass für die hinteren 2 Einer in der allgemeinen Lösung sowohl s als auch t den Wert 1 haben müssten. Dann ergibt sich aber an der Ersten Stelle eine -5, womit (1 1 1 1) nicht zur Lösungsmenge gehört! Konkret: s=1 und t=1 ergibt:(3 0 0 0)+(-3 0 1 0)+(-5 1 0 1)=(-5,1,1,1); also nicht (1 1 1 1) Mit lieben Grüssen Paul |
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Danke Paul! Hat mich um einiges weitergebracht.. Falls noch jemand ein Statement abgeben würde, würde ich mich freuen! Grüße Markus |
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Kann mir jemand bitte dringend noch mal Aufgabenteil b) genau erklären?? DANKE |
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Hallo Markus Das war gegeben 1 3 3 2 | 3 0 1 0 -1 | 0 0 0 0 0 | 0 Die letzte Zeile kann man jetzt weglassen: 1 3 3 2 | 3 0 1 0 -1 | 0 Das bedeutet: (nur nochmals zur Verdeutlichung) 1 x1 + 3 x2 + 3 x3 + 2 x4 = 3 0 x1 + 1 x2 + 0 x3 - 1 x4 = 0 In den Koeffizienten erkensnt du von links oben nach rechts unten eine Diagonale, und die Werte unter dieser Diagonalen sind Null. (Hier aufgrund der Kürze der Diagonalen halt nur links unten ein Mal) Rechts von der Diagonalen sind die freien Variablen, hier also x3 und x4. Um eine spezielle Lösung zu ermitteln, darfst du einfach alle freien Variablen mit dem Wert Null versehen. Das Gleichungssystem lautet dann nur noch so: 1 x1 + 3 x2 = 3 0 x1 + 1 x2 = 0 Das kannst du jetzt von unten nach oben nach den verbleibenden Variablen auflösen. Das gibt zunächst x2 = 0 Dies ind er oberen Gleichung eingesetzt und nach x1 aufgelöst ergibt: x1 + 3*0 = 3, also 1 x1 = 3 x3 und x4 haben wir ja vorgängig willkürlich mit dem Wert Null versehen, so dass wir nn haben: x1 = 3; x2 = 0; x3 = 0; x4 = 0; Oder als Vektor geschrieben: (3 0 0 0) Ist es jetzt klar? Ich wünsche dir für die bevorstehende Prüfung alle Gute! Mit lieben Grüssen Paul |
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