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Gaußscher Algorithmus mit Variablen

Universität / Fachhochschule

angewandte lineare Algebra

Tags: Angewandte Lineare Algebra

mikewolff aktiv_icon

17:03 Uhr, 07.03.2011

Betrachten Sie das folgende lineare Gleichungssystem mit den Parametern

a; b

element

R

3 x 1 + 1 x 2 +

ax3

= - 2

1 x 1 - 3 x 2 + 4 x 3 = 0

2 x 1 - 1 x 2 + 3 x 3 = b :

Bestimmen Sie die Parameter

a; b

derart, dass das lineare Gleichungsystem

(i)

nicht losbar ist,
(ii ) eindeutig losbar ist,
(iii ) mehrdeutig losbar ist.

Berechnen Sie fur (iii ) die Losungen des linearen Gleichungssystems.

Kann mir bitte bitte jemand bei dieser Aufgabe helfen? Stehe dabei voll auf dem Schlauch und bekomme es irgendwie nicht hin. Normale Gauß-Aufgaben bekomm ich hin, aber hier durch die Variablen steh ich aufm Schlauch. Wäre wirklich prima wenn mir jemand erklären könnte wie ich da vorgehen muss. Wenn möglich auch mit Zwischenschritten.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Shipwater aktiv_icon

17:19 Uhr, 07.03.2011

(\begin{matrix} 3 & 1 & a & | 2 \\ 1 & 3 & 4 & | 0 \\ 2 & 1 & 3 & | b \end{matrix}) \Rightarrow (\begin{matrix} 3 & 1 & a & | 2 \\ 0 & - 8 & - 12 + a & | 2 \\ 0 & - 1 & 2 a - 9 & | 4 - 3 b \end{matrix}) \Rightarrow (\begin{matrix} 3 & 1 & a & | 2 \\ 0 & - 8 & - 12 + a & | 2 \\ 0 & 0 & 60 - 15 a & | 24 b - 30 \end{matrix}) \Rightarrow (\begin{matrix} 3 & 1 & a & | 2 \\ 0 & - 8 & - 12 + a & | 2 \\ 0 & 0 & 20 - 5 a & | 8 b - 10 \end{matrix})

Falls ich mich nicht verrechnet habe. Überlege dir jetzt wie man anhand der letzten Zeile zeigen könnte, wann es unendlich viele bzw. keine Lösungen gibt.

mikewolff aktiv_icon

17:42 Uhr, 07.03.2011

Lösung soll sein:

Es gilt

(i), a = 2

und

b \neq - 1,

(ii

), a \neq 2,

(iii

), a = 2

und

b = - 1

(b)

Die Losungen bestehen aus Vektoren der Form

x = (\begin{matrix} - \frac{3}{5} \\ - \frac{1}{5} \\ 0 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} - 1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix})

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17:50 Uhr, 07.03.2011

Schau mal ob du dich nicht verschrieben hast beim LGS. Ich konnte jetzt keinen Fehler beim Drüberlesen finden. Vielleicht bin ich aber auch nur blind...
Die Lösungen passen aber mit Sicherheit nicht zu dem LGS, das du gepostet hast.

mikewolff aktiv_icon

17:56 Uhr, 07.03.2011

Sorry, hat sich beim rüberkopieren irgendwie nen Vorzeichenfehler eingeschlichen. Kannst du nochmal die zwischenschritte posten? Also welche Zeile du mit dem wievielfachen der nächsten addierst??

Shipwater aktiv_icon

18:04 Uhr, 07.03.2011

Also beim nächsten Mal dann bitte sofort den Beitrag nach Abschreibfehlern untersuchen. Nicht dass du nochmal jemanden "umsonst" rechnen lässt. ;-)

(\begin{matrix} 3 & 1 & a & | 2 \\ 1 & - 3 & 4 & | 0 \\ 2 & - 1 & 3 & | b \end{matrix})

Ich multipliziere die zweite Zeile mal

(- 3)

und addiere sie dann zur ersten. Das ergibt:

(\begin{matrix} 3 & 1 & a & | 2 \\ 0 & 10 & - 12 + a & | 2 \\ 2 & - 1 & 3 & | b \end{matrix})

Nun multipliziere ich die erste Gleichung mit 2 und die dritte Gleichung mit

(- 3)

und addiere diese dann:

(\begin{matrix} 3 & 1 & a & | 2 \\ 0 & 10 & - 12 + a & | 2 \\ 0 & 5 & 2 a - 9 & | 4 - 3 b \end{matrix})

Und schließlich multipliziere ich die jetzige dritte Gleichung mit

(- 2)

und addiere diese dann zur jetzigen zweiten Gleichung:

(\begin{matrix} 3 & 1 & a & | 2 \\ 0 & 10 & - 12 + a & | 2 \\ 0 & 0 & 6 - 3 a & | 6 b - 6 \end{matrix}) \Rightarrow (\begin{matrix} 3 & 1 & a & | 2 \\ 0 & 10 & - 12 + a & | 2 \\ 0 & 0 & 2 - a & | 2 b - 2 \end{matrix})

Jetzt passen auch die Musterlösungen.

mikewolff aktiv_icon

18:09 Uhr, 07.03.2011

Ahhhhh, okay, dann habe ich einfach mal nen Vorzeichenfehler reingebaut, war aber sonst auf dem richtigen Weg. Danke für die Hilfe und sorry fürs nochmal rechnen lassen!!!
Danke!

Shipwater aktiv_icon

18:19 Uhr, 07.03.2011

Noch eine Frage: Bist du sicher, dass du dich bei der "Lösungsgeraden" nicht verschrieben hast?

mikewolff aktiv_icon

18:45 Uhr, 07.03.2011

ja, eigentlich schon...

(\begin{matrix} - \frac{3}{5} \\ - \frac{1}{5} \\ 0 \end{matrix}) + t (\begin{matrix} - 1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix})

so stehts drin in der Lösung... Wieso? Nen Fehler gefunden?
Da war ich aber eh grad noch am nachvollziehen wie die darauf kommen...

Shipwater aktiv_icon

19:18 Uhr, 07.03.2011

Wenn man

a = 2

und

b = 1

wählt, erhält man:

(\begin{matrix} 3 & 1 & 2 & | 2 \\ 0 & 10 & - 10 & | 2 \\ 0 & 0 & 0 & | 0 \end{matrix})

Setzt man nun

x_{3} = λ

dann ergeben sich:

10 x_{2} - 10 λ = 2 \Leftrightarrow x_{2} - λ = \frac{1}{5} \Leftrightarrow x_{2} = \frac{1}{5} + λ

3 x_{1} + x_{2} + 2 λ = 2 \Leftrightarrow 3 x_{1} + \frac{1}{5} + λ + 2 λ = 2 \Leftrightarrow 3 x_{1} = \frac{9}{5} - 3 λ \Leftrightarrow x_{1} = \frac{3}{5} - λ

Also ist die Lösungsmenge dann

L = {(\frac{3}{5} - λ; \frac{1}{5} + λ; λ) | λ \in ℝ}

Die "Schnittgerade" der "Ausgangsebenen" wäre dann aber:

g : \vec{x} = (\begin{matrix} \frac{3}{5} \\ \frac{1}{5} \\ 0 \end{matrix}) + λ \cdot (\begin{matrix} - 1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix})

Gruß Shipwater

mikewolff aktiv_icon

19:33 Uhr, 07.03.2011

Ja, richtig, das hab ich auch. Und wenn man dann noch richtigerweise

(\begin{matrix} - 2 \\ 0 \\ b \end{matrix})

nimmt ist es auch richtig. Sorry, war ein langer Mathe-Tag bevor ich den Käse hier gepostet habe...
Danke aber wirklich für die Hilfe!!!!!!!!

Shipwater aktiv_icon

19:34 Uhr, 07.03.2011

Gern geschehen.

Shipwater aktiv_icon

19:42 Uhr, 07.03.2011

Dann stimmt aber wieder nicht, dass es für

a = 2

und

b = 1

unendlich viele Lösungen gibt, sondern für

a = 2

und

b = - 1 . .

Shipwater aktiv_icon

23:10 Uhr, 07.03.2011

Ah jetzt hast du es angepasst. Mensch, du warst heute aber nicht ganz bei der Sache^^

mikewolff aktiv_icon

23:13 Uhr, 07.03.2011

Da hast du wohl recht. Der Wald und die Bäume und so...
Mathe macht nach ein paar Stunden ein wenig bresig ;-)

Aber mit kompetenter Hilfe wird es ja dann doch...

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