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Gaußscher Integralsatz und Vektorfeld

Universität / Fachhochschule

Sonstiges

Tags: divergenz, gaußscher integralsatz, Vektorfeld

Chica-Rabiosa aktiv_icon

08:05 Uhr, 28.06.2013

Guten Morgen. Gegeben sei die Menge

V = {(x, y, z) \in ℝ^{3} | x^{2} + y^{2} + z^{2} \leq 1, z \geq 0}

und das Vektorfeld

v (x, y, z) = (\begin{matrix} x + y \\ y - x \\ z^{3} \end{matrix})

.

Berechnen Sie

\int_{V} d i v v d (x, y, z)

sowie

\int_{\partial V} v d S

.

Stimmt das Ergebnis mit der Aussage des Gaußschen Integralsatzes überein?

Also der Gaußsche Satz besagt ja: Es sei

V \subset ℝ^{n}

eine kompakte Menge mit abschnittsweise glattem Rand

S = \partial V,

der Rand sei orientiert durch ein äußeres Normaleneinheitsfeld

\vec{n}

. Ferner sei das Vektorfeld

\vec{F}

stetig differenzierbar auf einer offenen Menge

U

mit

V \subseteq U

. Dann gilt

\int_{V} d i v \vec{F} d^{(n)} V = \int_{S} \vec{F} \cdot \vec{n} d^{(n - 1)} S

.

Ich komme aber nicht wirklich ganz klar damit was ich tun muss, weil ich nicht das Verständnis für die Menge entwickeln kann.

Danke schon mal allen recht herzlich.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

pwmeyer aktiv_icon

10:30 Uhr, 28.06.2013

Hallo,

"weil ich nicht das Verständnis für die Menge entwickeln kann."

Die Menge ist eine Halbkugel mit Radius 1 und zwar die mit

z \geq 0

.

Du kannst ja schonmal div(V) ausrechnen. Dann wäre das über die Halbkugel zu integrieren.

Gruß pwm

Chica-Rabiosa aktiv_icon

10:44 Uhr, 28.06.2013

d i v v = 3 z^{2} + 2

Wie setze ich aber jetzt die Grenzen da ein, in das Integral? Dann müsste ich mit Kugelkoordinaten integrieren?

pwmeyer aktiv_icon

16:36 Uhr, 28.06.2013

Hallo,

es gibt zwei Varianten von Kugelkoordinaten. Welche kennst Du? Davon hängen auch die Grenzen ab.

Gruß pwm

Chica-Rabiosa aktiv_icon

11:24 Uhr, 29.06.2013

2 Varianten? Also mir ist eine üblich wobei ich wenig mit Kugelkoordinaten zu tun hast. Eher gesagt gar nichts. Wenn dann nur Polar- und Zylinderkoordinaten.

Naja ich kenne also, dass

x = r \cdot sin θ \cdot cos ϕ

y = r \cdot sin θ \cdot sin ϕ

z = r \cdot cos θ

r = \sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}}

ist der Radius bzw. der Abstand des Punktes "P" vom Koordinatenursprung.

ϕ

ist der Winkel zwischen der positiven x-Achse und

\vec{}

{

xy}, gezählt von

- π

bis

π

(-180° bis 180°) gegen den Uhrzeigersinn

ϑ

ist der Winkel zwischen der positiven z-Achse und

\vec{r},

gezählt von 0 bis

π

(0° bis 180°)

Aber ich verstehe das nicht, wie ich meine Aufgabe bezüglich der Kugelkoordinaten darstellen soll

: (

pwmeyer aktiv_icon

14:00 Uhr, 29.06.2013

Hallo,

naja, die erste Bedingung sagt doch

r \in [0,1]

und die zweite

(z \geq 0)

bedeutet.

θ \in [0, \frac{π}{2}]

.

Jetzt brauchst Du noch die Funktionaldeterminante zu den Kugelkoordinaten.

Gruß pwm

Chica-Rabiosa aktiv_icon

14:50 Uhr, 29.06.2013

Danke. Mhm. Dann lautet mein Integral doch so:

\int_{V} d i v \cdot \vec{F} d V = \int \int_{0}^{\frac{π}{2}} \int_{0}^{1} (3 z^{2} + 2) r^{2} sin θ d r d θ d φ

Ich brauche aber noch die Ableitung des Vektorfeldes? Mein "

\vec{F}

\frac{\partial v}{\partial x} = (\begin{matrix} 1 \\ - 1 \\ 0 \end{matrix})

\frac{\partial v}{\partial y} = (\begin{matrix} - 1 \\ 1 \\ 0 \end{matrix})

\frac{\partial v}{\partial z} = (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 3 z^{2} \end{matrix})

Es ist ja

d i v \cdot \vec{F} d V

davon die Ableitung des "F's" noch oder nur von der Divergenz also von

3 z^{2} + 2

?

Und was ist jetzt mein

φ

lepton

14:18 Uhr, 30.06.2013

pwmeyer hat dir ja schon sogut wie alles an Infos mitgeteilt. Es ist doch halbe Einheitskugel (obere Hälfte, da

z \geq 0

) mit

r = 1

.
Die Grenzen für

r

und

θ

wurden ja schon mitgeteilt, und

φ

durchläuft doch den gesamten Kreis in der xy-Ebene, so dass

φ \in [0, 2 π]

gilt.
Divergenz des Vektorfeldes:

\nabla \cdot \vec{v} = \partial_{i} v_{i}, i \in {1, 2, 3}

Das Volumenelement

d V

ist die genannte Funktionaldeterminante in Kugelkoordinaten, kann man überall nachschlagen, braucht nicht extra separat gerechnet zu werden.

Chica-Rabiosa aktiv_icon

14:37 Uhr, 30.06.2013

Ja danke Dir recht herzlich. Das Volumenelement in Kugelkoordinaten ist ja

d V = r^{2} d r sin θ d θ d φ

\int_{V} d i v \vec{F} d^{(n)} V = \int_{S} \vec{F} \cdot \vec{n} d^{(n - 1)} S

. Diese unterschiedlichen Notationen verwirren mich immer, da mein schon ohnehin mageres Verständnis mir dabei nicht gerade hilft.

Links haben wir ja die

d i v

stehen angwendet auf ein Vektorfeld integriert über das Volumen

d V

. (Also infinitesimale Volumenstückchen)

Jetzt verstehe ich nicht die Gleichheit bzw. was rechts von der Gleichung steht. Unser Vektorfeld

\vec{F}

multipliziert mit n? Was ist jetzt das n? Und was heißt jetzt dieses

d^{(n - 1)}

Die Ableitung von was denn?

lepton

15:01 Uhr, 30.06.2013

Wir haben hier ein 3D-Problem und dementsprechend beschränken wir uns auf 3D.
Der Satz von Gauß gibt quasi Auskunft über die Flussbilanz durch einen "geschlossenen" also berandeten Körper. Er verbindet das Volumenintegral über die Divergenz eines Vektorfeldes mit dem Fluss- (Oberflächenintegral). Ganz große elementare Anwendungen vorallem in der Elektrodynamik und Strömungsmechanik. Um aber jetzt alles kompakt und kurz zu halten, steht rechts das Flussintegral und

\vec{n}

ist der immer nach außen gerichtete Flächennormale, die orthogonal auf der zu betrachteten Fläche steht.
Also hier Gauß nochmal:

\int_{V} (\nabla \cdot \vec{v}) d V = \int_{\partial V = F} (\vec{v} \cdot \vec{n}) d F

Wenn du jetzt auch noch das Flussintegral (in der Regel etwas unangenehmer als das Volumenintegral, aber hier soft, da triviale halbe Einheitskugel) berechnen sollst, dann betrachte die Flächen getrennt:
1. Mantelfläche
2. Kreisfläche
Bei 1. kannst du

\vec{n}

als den Gradienten betrachten und bei 2. ist es, dass

\vec{n}

nach außen zeigt, also

\vec{n} = - \vec{e_{z}}

Chica-Rabiosa aktiv_icon

15:18 Uhr, 30.06.2013

Danke das war sehr anschaulich, hat mir wirklich ein anderen Blick auf das Ganze gegeben. Aber was ist jetzt bei meiner Aufgabe das

\vec{n}

,"die immer nach außen gerichtete Flächennormale, die orthogonal auf der zu betrachteten Fläche steht"?

lepton

16:55 Uhr, 30.06.2013

Wie schon erwähnt, musst du bei der Berechnung des Flussintegrals zwei getrennte Flächen der halben Kugel betrachten:
- Mantelfläche:

\vec{n}

hat die selbe Richtung wie der Gradient eines Skalarfeldes, welcher ja orthogonal zu den Niveauflächen des Feldes steht und bei der Kugel hier, sind deine Niveauflächen eben die Mantelfläche der Halbkugel. Also muss

\vec{n} ∣ ∣ \nabla Φ

gelten, wobei

Φ : R^{3} \to R, Φ (x, y, z) = x^{2} + y^{2} + z^{2}

\Rightarrow \vec{n} = \frac{\nabla Φ}{∣ ∣ \nabla Φ ∣ ∣}

- Grundfläche=Kreisfläche: hier steht

\vec{n}

einfach entgegengesetzt der positiven z-Richtung, logisch da

\vec{n}

immer nach außen zeigt

\Rightarrow \vec{n} = - \vec{e_{z}}

.
Am besten versuche mal durch eine Skizze zu visualisieren, da wird dir schon einfacher fallen nachzuvollziehen.
Wenn du die ganzen

\vec{n}

's hast, musst du dann noch das Flächenelement

d F

in Kugelkoordinaten ausdrücken, findet man auch fast überall, dann die Integrale ausrechnen und summieren, finito!

Edit: alternativ zu der Mantelfläche, wenn es für dich einfacher sein sollte nachzuvollziehen, kannst du

\vec{n}

auch aus dem Kreuzprodukt der Partiellen Ableitungen deiner Parametrisierung der Kugeloberfläche berechnen, so dass gilt:

\vec{n} = \frac{\partial_{θ} η \times \partial_{φ} η}{∣ ∣ \partial_{θ} η \times \partial_{φ} η ∣ ∣ ∣}

, wobei

η

deine Parametrisierung darstellen soll.

Chica-Rabiosa aktiv_icon

19:46 Uhr, 30.06.2013

Ich verstehe einfach nicht wie ich es umsetzen soll. Ebenso verstehe ich nicht den kompletten Sachverhalt vollständig. Deswegen tue ich mich unheimlich schwer.

Also zu berechnen ist ja laut Aufgabenstellung

\int_{V} d i v v d (x, y, z)

und

\int_{\partial V} v d S

Fange wir mit?

\int_{V} d i v v d (x, y, z)

an? Divergenz habe ich ja berechnet das Volumenelement in Kugelkoordinaten habe ich genannt, aber das ist ja für das andere Integral hm...

: (

lepton

20:58 Uhr, 30.06.2013

Also fassen wir nochmal zusammen:

\int_{V} (\nabla \cdot \vec{v}) d V = \int_{\partial V = F} (\vec{v} \cdot \vec{n}) d F

1. Es müssen bei beiden Integralen die selben Werte herauskommen, klar!

Volumenintegral:

2. Löse erstmal die linke Seite von Gauß, indem du die Divergenz

\nabla \cdot \vec{v} = \partial_{i} v_{i}

berechnest, dann das Volumenelement

d V = r^{2} s i n (θ) d r d θ d φ

einsetzen und schließlich das Integral unter Berücksichtigung der Grenzen ausrechnen.

Flussintegral (rechte Seite):

3. Es muss der Fluss durch die gesamte Fläche berechnet werden, und diese setzt sich aus Mantel- und Kreisfläche zusammen.
Dazu muss das vektorielle Flächenelement

d \vec{F}

ermittelt werden. Dazu bestimmst du zunächst

\vec{n}

für die Mantelfläche und für die Kreisfläche.

Mantelfläche:

\vec{n}

steht senkrecht auf der Tangentialebene, die von den Tangentialvektoren

\partial_{θ} \vec{η}, \partial_{φ} \vec{η}

aufgespannt wird.

\vec{η} (θ, φ)

ist deine bereits von dir angegebene Parametrisierung der Kugeloberfläche.
Für

\vec{n} = \frac{\partial_{θ} \vec{η} \times \partial_{φ} \vec{η}}{∣ ∣ \partial_{θ} \vec{η} \times \partial_{φ} \vec{η} ∣ ∣}

und für das skalare Flächenelement

d F = ∣ ∣ \partial_{θ} \vec{η} \times \partial_{φ} \vec{η} ∣ ∣ d θ d φ

. Anschließend auch hier die Grenzen einsetzen und ausrechnen.

Kreisfläche:

\vec{n}

ist hier wesentlich trivialer, da

\vec{n} = - \vec{e_{z}}

gilt. Danach durch Polarkoordinaten parametrisieren, da Ebene. Das skalare Flächenelement hierzu lautet:

d F = r d r d φ

. Auch hier Grenzen packen und losgehts, abschließend beide Resultate summieren und vergleichen, ob das mit der linken Seite übereinstimmt.

Chica-Rabiosa aktiv_icon

08:56 Uhr, 01.07.2013

Also für das "linke" Integral erhalte ich:

\int_{V} \nabla \cdot \vec{v} d V = \int_{0}^{2 π} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \int_{0}^{1} (3 z^{2} + 2) r^{2} sin θ d r d θ d φ

= \int_{0}^{2 π} \int_{0}^{\frac{π}{2}} {[(3 z^{2} + 2) \cdot \frac{1}{3} r^{3} sin θ]}_{0}^{1} d θ d φ

= \int_{0}^{2 π} \int_{0}^{\frac{π}{2}} (3 z^{2} + 2) \cdot \frac{1}{3} sin θ d θ d φ

= \int_{0}^{2 π} {[(3 z^{2} + 2) \cdot (- \frac{1}{3} cos θ)]}_{0}^{\frac{π}{2}} d φ

= \int_{0}^{2 π} 3 z^{2} + \frac{2}{3} d φ = {[3 z^{2} φ + \frac{2}{3} φ]}_{0}^{2 π} = 6 z^{2} π + \frac{4}{3} π

Für

z \geq 0

stimmt das mhm?

Chica-Rabiosa aktiv_icon

11:33 Uhr, 01.07.2013

Es ist wohl falsch? Ich habe es nicht in die Kugelkoordinaten übersetzt? Also mein z? Sprich:

\int_{V} \nabla \cdot \vec{v} d V = \int_{0}^{2 π} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \int_{0}^{1} (3 r^{2} {cos}^{2} θ + 2) r^{2} sin θ d r d θ d φ

müsste es heißen?

Und ausmultipliziert:

\int_{0}^{2 π} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \int_{0}^{1} (3 r^{2} {cos}^{2} θ + 2) r^{2} sin θ d r d θ d φ

= \int_{0}^{2 π} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \int_{0}^{1} (3 r^{2} {cos}^{2} θ + 2 r^{2} + 2 sin θ + 3 r^{2} {cos}^{2} θ sin θ) d r d θ d φ

pwmeyer aktiv_icon

13:33 Uhr, 01.07.2013

Hallo,

Du hast Dich beim Ausmultiplizieren verschreiben.

Gruß pwm

Chica-Rabiosa aktiv_icon

18:59 Uhr, 01.07.2013

Ouhje was habe ich da gemacht

: (

so aber jetzt?

\int_{0}^{2 π} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \int_{0}^{1} (3 r^{2} {cos}^{2} θ + 2) r^{2} sin θ d r d θ d φ

= \int_{0}^{2 π} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \int_{0}^{1} (3 r^{4} {cos}^{2} θ sin θ + 2 r^{2} sin θ) d r d θ d φ

lepton

20:42 Uhr, 01.07.2013

Jetzt sieht das Integral schon besser aus. Nun kannst du jetzt ausrechnen und danach die rechte Seite.

Chica-Rabiosa aktiv_icon

13:43 Uhr, 02.07.2013

\int_{0}^{2 π} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \int_{0}^{1} (3 r^{4} {cos}^{2} θ sin θ + 2 r^{2} sin θ) d r d θ d φ

= \int_{0}^{2 π} \int_{0}^{\frac{π}{2}} {[\frac{3}{5} r^{5} {cos}^{2} θ sin θ + \frac{2}{3} r^{3} sin θ]}_{0}^{1} d θ d φ

= \int_{0}^{2 π} \int_{0}^{\frac{π}{2}} (\frac{3}{5} {cos}^{2} θ sin θ + \frac{2}{3} sin θ) d θ d φ

= \int_{0}^{2 π} {[- \frac{1}{5} {cos}^{3} θ - \frac{2}{3} cos θ]}_{0}^{\frac{π}{2}} d φ

= \int_{0}^{2 π} \frac{13}{15} d φ = {[\frac{13}{15} φ]}_{0}^{2 π} = \frac{26}{15} π

Richtig? Bitte

. .

pwmeyer aktiv_icon

14:01 Uhr, 02.07.2013

Hallo,

sieht richtig aus.

Gruß pwm

Chica-Rabiosa aktiv_icon

14:17 Uhr, 02.07.2013

Die Nachricht von Lepton

(20 : 58

Uhr,

30.06.2013)

habe ich mir mehrmals durchgelesen, aber irgendwie schaffe ich es nicht noch das "rechte Integral" zu berechnen sprich:

\int_{\partial V = F} (\vec{v} \cdot \vec{n}) d F

Wir haben es ja mit einer Halbkugel zu tun,

d . h

. ich muss seperat den Fluss berechnen? Ich komme da einfach nicht hinter.

lepton

17:59 Uhr, 02.07.2013

Ich verstehe nicht, warum du da beim Flussintegral nicht weiterkommst. Ich habe dir doch alle nötigen Infos schon mitgeteilt, du brauchst sie stur nur noch einzusetzen. Wenn ich

\vec{n}

und

F

einsetze, dann kommt für Fluss durch Mantelfläche:

\int_{\partial V} \vec{v} \cdot (\partial_{θ} \vec{η} \times \partial_{φ} \vec{η}) d θ d φ = . . .

Dieses Integral gilt zu lösen. Du hast im Integranden das Spatprodukt (Sarrus anwenden) oder direkt ausrechnen.

Kreisfläche:
Steht alles da, nur noch einsetzen. Eigentlich kann man sich hier die Rechnung sparen, da eigentlich klar ist, dass der Fluss hier verschwindet. Aber als Übung solltest du mal doch lieber rechnerisch darauf kommen.:-)

Chica-Rabiosa aktiv_icon

00:01 Uhr, 04.07.2013

Also nachdem ich mir das ganze jetzt länger auf der Zunge zergehen ließ, verstehe ich noch immer nicht alles.

Also. Ich verstehe nicht den Zusammenhang der Mantelfläche und der Kreisfläche als Integral wie ich das berechnen? Getrennt, also erst eins dann das andere und summieren? Wurde ja gesagt.

φ : ℝ^{3} \to ℝ, φ (x, y, z) = x^{2} + y^{2} + z^{2}

\Rightarrow \vec{n} = \frac{\nabla φ}{| | \nabla φ | |}

\vec{n} = (\begin{matrix} 2 x \\ 2 y \\ 2 z \end{matrix})

Der Gradient zeigt ja immer in Richtung des stärksten Anstiegs, wird ja immer plädiert.

\vec{n} = \frac{\nabla φ}{| | \nabla φ | |} = \frac{2 x + 2 y + 2 z}{\sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}}}

Jetzt verstehe ich nicht wieso

\vec{n} = - {\vec{e}}_{z}

Ist dann

- {\vec{e}}_{z} = (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ - 2 z \end{matrix})

? Ich kann mir das nicht vorstellen irgendwie wieso das so sein sein soll/wo es liegen soll.

Wie kriege ich jetzt das ganze in mein Integral hinein?

Die Mantelfläche muss ich ja in Kugelkoordinaten berechnen, die Kreisfläche mittes Polarkoordinaten, ich tue mich noch bei der Umsetzung total schwer

: (

pwmeyer aktiv_icon

08:47 Uhr, 04.07.2013

Hallo,

ich denke, hier zeigen sich die Grenzen eines Mathe-Forums. Du müsstest mal mit einem(r) Mitarbeiter(in) vor Ort sprechen und Dir das ganze Schritt für Schrit erklären lassen.

Wenn Du hier weiter machen willst, dann schlage ich vor, dass Du jetzt in Deinem Skript nachschlägst, wir Ihr das Oberflächenintegral definiert habt und das mal hierhin schreibst.

Gruß pwm

Chica-Rabiosa aktiv_icon

08:54 Uhr, 04.07.2013

Im Skript werden wohl meine ganzen Fragen auch nicht beantwortet.

\vec{n} = \frac{\nabla φ}{| | \nabla φ | |} = \frac{2 x + 2 y + 2 z}{\sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}}}

(Stimmt es?)

"Jetzt verstehe ich nicht wieso

\vec{n} = - {\vec{e}}_{z}

"

"Ist dann

- {\vec{e}}_{z} = (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ - 2 z \end{matrix})

? Ich kann mir das nicht vorstellen irgendwie wieso das so sein sein soll/wo es liegen soll."

Wird dies beantwortet oder ist das so einfach... wieso wird es dann einfach nicht beantwortet...

Biene Maja

14:04 Uhr, 04.07.2013

Hallo,
sorry fuer die unterbrechung^^

kann man das niicht auch so machen?

Man nimmt folgende Parametrisierung:

\vec{r} (θ, φ) = (\begin{matrix} cos φ sin θ \\ sin φ sin θ \\ cos θ \end{matrix})

Die Oberflaeche

S

der Einheitskugel ist wie folgt definiert:

\vec{n} (θ, φ) = \vec{r} (θ, φ)

und

d \vec{S} = \vec{n} sin θ d φ d θ

\Rightarrow d \vec{S} = \vec{r} sin θ d φ d θ

und

\vec{v} (r, θ, φ) = (\begin{matrix} cos φ sin θ \\ sin φ sin θ \\ {cos}^{3} θ \end{matrix})

daraus folgt fuer die rechte Seite vom Gauss Integral:

\int \int_{S} \vec{v} d \vec{S} = \int_{0}^{π} \int_{0}^{2 π} ({cos}^{2} φ {sin}^{2} φ + {sin}^{2} φ {sin}^{2} θ + {cos}^{4} θ) sin θ d φ d θ

allerdings weiss ich nicht ob

2 π

oder

\frac{π}{2}

und ob man es ueberhaupt so rechen kann\darf

lepton

19:32 Uhr, 04.07.2013

@Biene Maja:
1. Was ist denn an deinem Ansatz anders als meinem mit dem Gradienten bzw. den Tangentialvektoren?
Es ist doch genau das gleiche.
2. Definition der Kugeloberfläche S...
Das macht keinen Sinn, das vektorielle Flächenelement auf krummlinigen Koordinaten ist allg. durch

d \vec{F} = \vec{n} d F

definiert. Und für Parametrisierungen der Kugeloberfläche bekommt man eben für die Berechnung des skalaren Flächenelements aus der abwechselnden Variation der Parametervariablen (im Allg. mit

u, v

, dargestellt)

d F = r^{2} s i n (θ) d θ d φ

. In diesem Fall hier mit

r = 1

\Rightarrow d F = s i n (θ) d θ d φ

3. Ja, du hast es erfasst, es gilt hier

\vec{n} = \vec{r} = \vec{η}

. Und das folgt aus dem Gradienten, was schon angegeben war.
4.

\vec{v}

ist bei der nicht richtig angegeben.
5. Aber das Integral hast du fast richtig angegeben, bis auf, dass

θ \in [0, \frac{π}{2}]

gilt und im 1. Summanden muss es

s i n^{2} (θ)

heißen. Außerdem mann kann noch den Integranden etas abspecken, so dass Endeffekt

\int_{0}^{2 π} \int_{0}^{\frac{π}{2}} (s i n^{3} (θ) + s i n (θ) c o s^{4} (θ)) d θ d φ

zu lösen gilt.

@Chica Rabiosa:
Wie du siehst braucht man quasi alles nur einzusetzen.
Übrigens, ob man mit dem Gradienten arbeitet oder mit den Tangentialvektoren der Parametrisierung, spielt keine Rolle, sind völlig äquivalent zu einander (Resultat bleibt invariant).

Kreisfläche:
Hier gehst du analog vor. Übrigens dein

\vec{n}

ist hier nicht korrekt, da

\vec{n} = \vec{- e_{z}} = (0, 0, - 1)^{T}

. Des Weiteren habe ich dir schon

d F

angegeben. Du brauchst hier nur das Skalarprodukt

\vec{v} \cdot \vec{n}

auszurechnen und dann stur alles einsetzen und das Integral lösen.

Edit: Außerdem kann man sich auch die Berechnung des

\vec{n}

völlig ersparen, wenn man sich klar macht, wie schon mehrmals erwähnt, dass

\vec{n}

orthogonal zur Oberfläche steht, also radial nach außen zeigt und somit orthogonal in Richtung der Winkelvariablen, da die Basisvektoren

\vec{e_{r}}, \vec{e_{θ}}, \vec{e_{φ}}

vollständiges Rechtssystem darstellen.

\Rightarrow \vec{n} ∣ ∣ \vec{e_{r}}

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