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Geburtstagsparadoxon (Wahrscheinlichkeit)

Universität / Fachhochschule

Tags: Geburtstagsparadoxon Wahrscheinlichkeitberechnung Stochastik

Makaja84 aktiv_icon

18:40 Uhr, 21.11.2016

Hallo zusammen,

ich brauche mal Hilfe von einem klugen Kopf bei einer Wahrscheinlichkeitsberechnung:

8 Personen wählen rein zufällig einen beliebigen Tag in einem Monat, der

31

Tage hat. Jeder Tag ist gleich wahrscheinlich. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass exakt drei Personen zufällig sich für den gleichen Tag entscheiden?

Ich habe versucht das anhand der Formel für das Geburtstagspradoxon zu berechnen, aber bin mir mit dem Ergebnis etwas unsicher (siehe laienhafte Grafik unten). Daher wäre es nett, wenn jemand parallel versucht dieses einfache kleine Rätsel zu lösen.

LG
Tim

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

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18:59 Uhr, 21.11.2016

Mein Ansatz wäre:

Es gibt

31 \cdot 7 = 217

mögliche Tage

(\begin{matrix} 8 \\ 3 \end{matrix}) \cdot {(\frac{217}{365})}^{3} \cdot {(\frac{148}{365})}^{5} = 12,9 %

Atlantik aktiv_icon

19:14 Uhr, 21.11.2016

Hier ist etwas:

http//matheguru.com/stochastik/186-geburtstagsproblem.html

mfG

Atlantik

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06:13 Uhr, 22.11.2016

Korrektur:

(\begin{matrix} 8 \\ 3 \end{matrix}) \cdot {(\frac{1}{217})}^{3} \cdot {(\frac{216}{217})}^{5}

Makaja84 aktiv_icon

09:17 Uhr, 22.11.2016

Danke für die Antwort. Ich verstehe die Herleitung nicht, aber das ist mir auch nicht so wichtig. Ergebnis ist entscheidend.

Wie sicher bist du dir mit der Formel? Kannst du bitte vielleicht noch das Ergebnis ausrechnen (ich hab wirklich lange keinen Taschenrechner mehr benutzt und weiß gar nicht wie man Exponenten eingibt)?

Bummerang

09:39 Uhr, 22.11.2016

Hallo,

die Aufgabe ist unvollständig und somit nicht eindeutig lösbar. Supporter hat angenommen, dass nicht nur der Tag, sondern auch der Monat mit seinen

31

Tagen beliebig ist. Das kann man annehmen, aber da in der Aufgabenstellung nur steht "in einem Monat mit

31

Tagen" und nicht "in einem beliebigen Monat mit

31

Tagen", ist auch die Interpretation möglich, dass man am Ende nur eine Auswahl aus

31

Tagen hat. Was auch nicht klar wird ist, wie damit umgegangen wird, dass sich

z . B

. exakt 3 Personen für den 1. Januar und exakt 3 Personen für den 2. Januar entschieden haben. Sind das dann exakt 3 Personen, die sich für den gleichen Tag entschieden haben?

Ich habe supporters Rechnung noch nicht genau angeschaut, aber mindestens mein letzter Einwand, ist nicht berücksichtigt worden und ausserdem scheint es mir, als ob die Formel nicht berechnet, dass drei Personen den gleichen Tag gewählt haben, sondern dass 3 Personen den gleichen, fest vorgegebenen Tag gewählt haben.

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09:45 Uhr, 22.11.2016

Die WKT einen bestimmten Tag zu wählen ist

\frac{1}{217}

. Das ist die Treffer-WKT.
Da die Personen unabhängig voneinander entscheiden, liegt eine Bernoulli-Kette vor.

http//matheguru.com/stochastik/164-bernoulli-kette.html

Ergebnis:

0,0000054 = 0,00054 %

Makaja84 aktiv_icon

10:08 Uhr, 22.11.2016

Sorry für die Verwirrung, zur Auswahl stehen nur

31

Tage. Zur Klarstellung formuliere ich die Frage nochmal anders:

In einem Lostopf befinden sich

31

durchnummerierte Kugeln. Person Nr. 1 zieht eine Kugel und legt diese dann wieder zurück. Genauso machen es die übrigen 7 Personen. Am Ende hat also jede der 8 Personen eine Zahl zwischen 1 und

31

gezogen. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass drei Personen dieselbe Zahl ziehen?

Falls 3 Personen die Kugel mit der "1" ziehen und zugleich 3 Personen die Kugel mit der "2", wäre dass "unschädlich",

d . h

. auch dieser Fall würde zählen. Es reicht schlicht, dass drei Personen dieselbe Zahl ziehen. Weitere Überscheidungen sind nicht Voraussetzung, aber auch nicht schädlich.

Danke für alle Antworten.

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10:24 Uhr, 22.11.2016

Es gibt

31

mögliche Zahlen.

Mein Ansatz wäre hier:

(\begin{matrix} 8 \\ 3 \end{matrix}) \cdot {(\frac{1}{31})}^{3} \cdot {(\frac{30}{31})}^{5} \cdot 31 = 0,04946 . .

= 4,9 %

Bummerang

14:56 Uhr, 22.11.2016

Hallo,

der Ansatz von supporter zählt die von mir nachgefragten doppelten Dreier zwei Mal. Deshalb weicht seine Wahrscheinlichkeit ab der zweiten Nachkommastelle vom tatsächlichen Ergebnis

0,049204179382531 . .

≅ 4,9204179382531 %

ab. Wenn er am Ende auf

4,9 %

rundet, geht dieser Rechenfehler zwar verloren, aber im Zwischenergebnis sieht man den Fehler doch noch...

Makaja84 aktiv_icon

15:28 Uhr, 22.11.2016

Tausend Dank an euch beide! Bist du so nett und nennst noch die korrekte Formel? Ich checke nicht, wie man Supporters Formel ändern muss, um die "doppelten Dreier" raus zu kriegen.

Makaja84 aktiv_icon

14:17 Uhr, 23.11.2016

Push

Bummerang

15:54 Uhr, 23.11.2016

Hallo,

ich leite supporters Formel etwas anders her und zwar so, dass man daraus leicht die Formel für die abzuziehenden doppelten Möglichkeiten bilden kann!

Anzahl aller Möglichkeiten:

31^{8};

Das sollte klar sein!

Anzahl günstiger Möglichkeiten:

Ich kann 1 Tag aus den

31

Tagen auswählen:

(\begin{matrix} 31 \\ 1 \end{matrix})

Ich kann 3 drei der 8 Personen auswählen für diesen Tag:

(\begin{matrix} 8 \\ 3 \end{matrix})

Ich kann für die restlichen 5 Personen jeden anderen der restlichen

30

Tage wählen:

30^{5}

\Rightarrow (\begin{matrix} 31 \\ 1 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 8 \\ 3 \end{matrix}) \cdot 30^{5}

Möglichkeiten

Dabei mache ich den Fehler, dass zusätzlich 3 der restlichen Personen den selben restichen Tag genommen haben. Ich muss also alle solche Möglichkeiten abziehen:

Ich kann 2 Tage aus den

31

Tagen auswählen:

(\begin{matrix} 31 \\ 2 \end{matrix})

Ich kann 3 drei der 8 Personen auswählen für einen Tag:

(\begin{matrix} 8 \\ 3 \end{matrix})

Ich kann 3 drei der restlichen 5 Personen auswählen für den anderen Tag:

(\begin{matrix} 5 \\ 3 \end{matrix})

Ich kann für die restlichen 2 Personen jeden anderen der restlichen

29

Tage wählen:

29^{2}

\Rightarrow (\begin{matrix} 31 \\ 2 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 8 \\ 3 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 5 \\ 3 \end{matrix}) \cdot 29^{2}

Möglichkeiten

Zusammen:

\frac{(\begin{matrix} 31 \\ 1 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 8 \\ 3 \end{matrix}) \cdot 30^{5} - (\begin{matrix} 31 \\ 2 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 8 \\ 3 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 5 \\ 3 \end{matrix}) \cdot 29^{2}}{31^{8}}

Wenn man dies etwas umschreibt, dann kommt man auf supporters Formel als Teil dieser Formel:

\frac{(\begin{matrix} 31 \\ 1 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 8 \\ 3 \end{matrix}) \cdot 30^{5}}{31^{8}} - \frac{(\begin{matrix} 31 \\ 2 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 8 \\ 3 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 5 \\ 3 \end{matrix}) \cdot 29^{2}}{31^{8}}

= 31 \cdot (\begin{matrix} 8 \\ 3 \end{matrix}) \cdot \frac{30^{5}}{31^{5}} \cdot \frac{1}{31^{5}} - \frac{1}{2} \cdot 31 \cdot 30 \cdot (\begin{matrix} 8 \\ 3 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 5 \\ 3 \end{matrix}) \cdot \frac{29^{2}}{31^{2}} \cdot \frac{1}{31^{6}}

= 31 \cdot (\begin{matrix} 8 \\ 3 \end{matrix}) \cdot {(\frac{30}{31})}^{5} \cdot {(\frac{1}{31})}^{5} - \frac{1}{2} \cdot 31 \cdot 30 \cdot (\begin{matrix} 8 \\ 3 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 5 \\ 3 \end{matrix}) \cdot {(\frac{29}{31})}^{2} \cdot {(\frac{1}{31})}^{6}

Roman-22

16:14 Uhr, 23.11.2016

Ich habe den Eindruck, dass du beim Abzählen der Anzahl der Doppel-Dreier jede Möglichkeit doppelt gezählt hast und dein Ausdruck noch halbiert werden müsste.
Das Gesamtergebnis wäre dann

\frac{1357267800}{27512614111} \approx 4,93325641294602316461 %

Bummerang

16:53 Uhr, 23.11.2016

Hallo,

"Ich habe den Eindruck, dass du beim Abzählen der Anzahl der Doppel-Dreier jede Möglichkeit doppelt gezählt hast und dein Ausdruck noch halbiert werden müsste."

Ich hatte darüber auch eine Weile nachgedacht und war folgendem Ergebnis gekommen:

Dadurch dass ich die zwei Tage ohne Beachtung der Reihenfolge wähle, setze ich die erste gewählte Gruppe auf den kleineren Tag und die zweite gezogene Gruppe auf den ersten Tag. So ergeben die selben zwei Gruppen in anderer Reihenfolge gezogen eine andere Möglichkeit. Deshalb glaube ich, dass Dein Eindruck Dich täuscht!

supporter aktiv_icon

17:05 Uhr, 23.11.2016

Ihr zwei seid der echte matham. Wahnsinn. Man kann nur vor Neid erblassen, was ihr alles so drauf habt.
Ich werde tägl. einige

c m

kleiner. Bald ist nichts mehr übrig von mir.:-)
Wie sagt der Bayer. Wer ko, der ko.

Christian- aktiv_icon

17:06 Uhr, 23.11.2016

Roman ist höher vom Wissensstand.
Bummerang ist knapp unter Roman, so sehe ich es.
Bummerang ist aber ganz gut!

Roman-22

17:21 Uhr, 23.11.2016

@Bummerang

>

Deshalb glaube ich, dass Dein Eindruck Dich täuscht!
Scheint so zu sein. Deine Begründung klingt jedenfalls schlüssig.
Mein Eindruck war deshalb falsch, weil ich nicht beachtete, dass ja auch die zwei Möglichkeiten, den beiden auf

(\begin{matrix} 31 \\ 2 \end{matrix})

Arten zu wählenden Tagen die beiden auf

(\begin{matrix} 8 \\ 3 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 5 \\ 3 \end{matrix})

Arten zu wählenden Dreiergruppen zuzuordnen, nicht berücksichtigt sind. Dieser "fehlende" Faktor 2 hebt sich dann mit dem "fehlenden"

\frac{1}{2}

auf.

@supporter

>

Ich werde tägl. einige cm kleiner.
Auch wenns nicht einige cm sind, so gehts mir genau so. Ist altersbedingt und biologisch OK.

@Christian-
Ein derartiges Ranking ist gröbster Unfug!
Abgesehen von der Tatsache, dass im konkreten Fall wohl Bummerang die Nase vorn hat.

Bummerang

17:29 Uhr, 23.11.2016

Hallo,

ich weiss nicht, ob ich den Sinn dieses Forums richtig begriffen habe. Geht es dabei um die möglichst richtige Hilfe für Fragesteller oder darum, dass Helfer/Antworter auf weder transparenter noch nachvollziehbarer Art und Weise bewertet werden, um am Ende in einem Ranking den Forumskönig zu erkennen? Es geht auch nicht darum, vor irgendjemandem in Ehrfurcht zu erstarren. Insofern schließe ich mich der Meinung von Roman-22:

Auch wenns nicht einige cm sind, so gehts mir genau so. Ist altersbedingt und biologisch OK.
Ein derartiges Ranking ist gröbster Unfug!

Makaja84 aktiv_icon

17:44 Uhr, 23.11.2016

Vielen Dank euch allen!

Makaja84 aktiv_icon

17:45 Uhr, 23.11.2016

Vielen Dank euch allen!

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