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Geburtstagsproblem; Genau 2 Personen

Schüler Berufliches Gymnasium, 13. Klassenstufe

Tags: Geburtstagsproblem, Genau, Person

gabrielbah aktiv_icon

17:51 Uhr, 02.02.2013

Hilfe Ich brauche dringend Hilfe !

Ich muss folgende Fragen für meine GFS beantworten um ihr noch den letzten Schliff zu geben.

a)

Wie hoch ist die Warscheinlichkeit das GENAU (und nicht mindestens) 2 Personen von 8 Personen im selben Monat Geburtstag haben ?

b)

Wie viele Leute müssen in einem Raum sein, um eine Warscheinlichkeit zu haben, dass mindestens 2 zufällig ausgeswählte Personen im selben Monat Geburtstag haben ?

Ich würde liebend gerne einen Ansatz machen, da ich aber nicht die geringste Ahnung habe ist das schwer!

Ich würde ewig dankbar für Rechenhilfe sein

!!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Rasaphar aktiv_icon

13:13 Uhr, 03.02.2013

Hallo gabrielbah,

also, erstmal zu

a)

Um die Wahrscheinlichkeit zu berechnen, brauchen wir 2 Dinge.
Die Anzahl der möglichen Fälle und die Anzahl der günstigen Fälle.

Wie groß ist die Anzahl der möglichen Fälle? Es handelt sich hierbei um die Situation: "Ziehen, mit Zurücklegen, ohne Beachtung der Reihenfolge"
(Warum sollte klar sein)

Somit haben wir die Formel

(\begin{matrix} n + k - 1 \\ n - 1 \end{matrix})

Also hier

(\begin{matrix} 12 + 8 - 1 \\ 12 - 1 \end{matrix}) =

?

Jetzt brauchen wir noch die Anzahl der günstigen Fälle.
Diese sind ja genau die, bei denen 2 Personen im selben Monat Geburtstag haben, alle anderen in den verbleibenden, paarweise verschiedenen Monaten.

Somit ergeben sich

(\begin{matrix} 12 \\ 7 \end{matrix}) \cdot 7

Möglichkeiten. (Bitte selbst nachvollziehen, warum das so ist)

Somit liegt die Chance bei

\frac{(\begin{matrix} 12 \\ 7 \end{matrix}) \cdot 7}{(\begin{matrix} 12 + 8 - 1 \\ 12 - 1 \end{matrix})} = \frac{5544}{75582} \approx 7 %

b)

Ich verstehe die Aufgabenstellung nicht so ganz. Sucht ihr eine Wahrscheinlichkeit oder die Zahl, ab der man eine Wahrscheinlichkeit berechnen kann???
Eventuell wollt ihr hier auch auf das Schubfachprinzip hinaus. (Bei

13

Personen gibt es mindestens

2,

die im selben Monat Geburtstag haben)

Wenn ich das, was du da geschrieben hast, wörtlich nehme, lautet die Antwort: 2

Bei 2 Personen existiert eine Wahrscheinlichkeit, dass diese im selben Monat Geburtstag haben. Diese liegt dann bei

\frac{1}{12}

Grüße
Rasaphar

DK2ZA aktiv_icon

16:29 Uhr, 03.02.2013

a)

Wir nennen die acht Personen

A, B, C, D, E, F, G

und H.

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass A und

B

im gleichen Monat Geburtstag haben?

A ist in irgendeinem Monat geboren. Die Wahrscheinlichkeit, dass

B

im gleichen Monat geboren wurde, ist

\frac{1}{12}

.

Nun muss

C

in einem anderen Monat geboren sein. Die Wahrscheinlichkeit dafür ist

\frac{11}{12}

.
Für

D

bleiben dann noch

10

Monate zur Auswahl. Die Wahrscheinlichkeit, dass er in einem davon geboren wurde, beträgt

\frac{10}{12}

E

muss in einem der verbleibenden 9 Monate geboren sein. Wahrscheinlichkeit:

\frac{9}{12}

F

muss in einem der verbleibenden 8 Monate geboren sein. Wahrscheinlichkeit:

\frac{8}{12}

G

muss in einem der verbleibenden 7 Monate geboren sein. Wahrscheinlichkeit:

\frac{7}{12}

H

muss in einem der verbleibenden 6 Monate geboren sein. Wahrscheinlichkeit:

\frac{6}{12}

Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass all dieses zutrifft, beträgt

\frac{1}{12} \cdot \frac{11}{12} \cdot \frac{10}{12} \cdot \frac{9}{12} \cdot \frac{8}{12} \cdot \frac{7}{12} \cdot \frac{6}{12} = \frac{385}{41472}

Nun müssen aber nicht unbedingt A und

B

den gleichen Geburtsmonat gehabt haben. Alle anderen Paare kommen auch in Frage!

Wie viele Paare kann man aus 8 Personen bilden?

Für die erste Person gibt es 8 Möglichkeiten der Auswahl, für die zweite 7. Also

8 \cdot 7 = 56

Paare.
Da aber hier zwischen den Paaren AB und BA kein Unterschied gemacht wird, zählen nur halb so viele, nämlich

28

.

Für das Gesamtergebnis muss die oben berechnete Wahrscheinlichkeit also noch mit

28

multipliziert werden:

28 \cdot \frac{385}{41472} = \frac{2695}{10368} \approx 0,2599 = 25,99 %

GRUSS, DK2ZA

gabrielbah aktiv_icon

18:38 Uhr, 03.02.2013

Perfekt :-D) Ein dickes Lob und Dankeschön an DK2ZA, meine GFS ist gerettet :-D) An Rasaphar was ich nicht verstanden hab sind diese Klammern mit den Zahlen unter einander ? was die bedeuten sollen ? wie man das eintippen muss in den GTR um auf die

5544

zu kommen

=)

Rasaphar aktiv_icon

15:57 Uhr, 04.02.2013

Das ist der Binomialkoeffizient.
Und die Lösung meines Nachredners

(26 %)

kommt mir sehr viel vor...

Musst du schauen, was genau ihr machen solltet...

Aber

26 %

finde ich sehr viel.

DK2ZA aktiv_icon

18:34 Uhr, 04.02.2013

@Rasaphar:

26 %

schien mir auch sehr viel zu sein. Deshalb habe ich das folgende Simulationsprogramm geschrieben:

REM Dieses Programm soll mit Hilfe von Zufallszahlen folgende Frage beantworten:
REM
REM Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass von 8 Personen
REM genau 2 im gleichen Monat Geburtstag haben?
REM
DIM monat(11)
treffer=0
FOR

n = 1

100000

FOR

i = 0

11

monat(i)=0
NEXT

i

FOR person=1 TO 8
REM Ganze Zufallszahl von 0 bis

11

erzeugen:
m=RANDOM(12)
monat(m)=monat(m)+1
NEXT person
zwei_geburtstage=0
ein_geburtstag=0
FOR

i = 0

11

IF monat(i)=2 THEN
zwei_geburtstage=zwei_geburtstage+1
ENDIF
IF monat(i)=1 THEN
ein_geburtstag=ein_geburtstag+1
ENDIF
NEXT

i

IF zwei_geburtstage=1 AND ein_geburtstag=6 THEN
treffer=treffer+1
ENDIF
NEXT

n

PRINT treffer/n

Das Ergebnis war

0,2603874

GRUSS, DK2ZA

1070989

1070501

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