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Gedächtnislosigkeit folgt geometrische Verteilung?

Universität / Fachhochschule

Verteilungsfunktionen

Zufallsvariablen

Tags: Verteilungsfunktion, Zufallsvariablen

klauszi aktiv_icon

09:04 Uhr, 18.10.2015

Hallo Liebe Mathefreunde,

Ich plage mich momentan mit einen Beweisproblem:

--------------------------------------------------------------------------------------
Es sei X eine Zufallsvariable mit X =

ℕ

und es gilt folgende Eigenschaft:

P (X = s ∣ X > t) = P (X = s - t)

für alle

t \in ℕ_{0}

und alle

s > t

.

Zeigen Sie das X geometrisch verteilt sein muss!
---------------------------------------------------------------------------------------

Mein Stand ist momentan:

P (X = s) = P (X > t) \cdot P (X = s - t)

und habe den Tipp gelesen, dass

p = P (X = 1)

ziemlich nützlich sein sollte,
kann dies aber momentan nicht einbringen :(

Vielen Dank!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

DrBoogie aktiv_icon

09:53 Uhr, 18.10.2015

Nun, wenn Du in Deiner Formel

t = 1

setzt, bekommst Du die Formel

P (X = s) = P (X = s - 1) P (X > 1)

. Wenn jetzt

q := P (X > 1)

, dann hast Du

P (X = 2) = P (X = 1) q = p q

P (X = 3) = P (X = 2) q = p q^{2}

usw. (bzw. per Induktion)

P (X = n) = p q^{n - 1}

.

Das ist aber die geometrische Verteilung, denn aus

\sum_{n = 1}^{\infty} P (X = n) = 1

folgt

q = (1 - p)

klauszi aktiv_icon

11:36 Uhr, 18.10.2015

Vielen Danke DrBoogie :-)

Das hieße dann ebenfalls für

t = 2

, dass ich folgende Formel erhalte:

P (X = s) = P (X = s - 2) P (X > 2)

und

P (X = 1) := p

P (X = 2) := p q

P (X > 2) := q^{2}

.

Das hieße, dass ich für ein beliebiges t immer

P (X = 1) := p

P (X = s - t) := q^{t}

und alle

P (X = j)

mit

1 < j \leq t

mit entsprechenden Werten initialiseren müsse, anschließend mit Induktion nachweisen kann, dass es für alle t und s stimmt.

Oder mach ich mir da zu viel Arbeit und wir sind eigentlich schon am Ziel angekommen?

DrBoogie aktiv_icon

11:37 Uhr, 18.10.2015

"Oder mach ich mir da zu viel Arbeit und wir sind eigentlich schon am Ziel angekommen? "

Ja, Du machst zu viel Arbeit.
Am Ziel sind wir schon, wenn Du verstehst, wie

q = 1 - p

zu zeigen ist (das habe ich nur angedeutet).

klauszi aktiv_icon

11:50 Uhr, 18.10.2015

Ja also

\sum_{n = 1}^{\infty} P {X = n} = P {X = 1} + P {X > 1} = p + q = 1 \to q = (1 - p)

Ich verstehe aber nicht ganz, wie wir anschließend dies für alle n und s dann gezeigt haben :(

DrBoogie aktiv_icon

11:54 Uhr, 18.10.2015

Meinst Du, wie die Formel

P (X = n) = p q^{n}

per Induktion gezeigt wird oder was?

klauszi aktiv_icon

11:59 Uhr, 18.10.2015

Nein per Induktion wäre kein Problem.

Schon gut war eine blöde Frage, danke Boogie :-)

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