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Gedämpftes Pendel Laplace DGL

Universität / Fachhochschule

Tags: Pendel

gonnabeph aktiv_icon

22:08 Uhr, 28.06.2015

Hallo ich möchte mir die Lösung für ein gedämpftes Pendel herleiten mittels Laplace Transformation. Die DGL lautet dazu:

m x ʺ (t) + k x ʹ (t) + m g \frac{x (t)}{L} = 0

Ich dachte nun ich setze die Anfangsbedingungen x(0)=A und x'(0)=0.

Dann erhalte ich mit der Laplace Transformation:

L T [x (t)] = A \cdot \frac{s m + k}{s^{2} + \frac{k}{m} s + \frac{g}{L}}

Nun die Rücktransformation:

x (t) = A \cdot L T^{- 1} [\frac{s m + k}{s^{2} + \frac{k}{m} s + \frac{g}{L}}]

Nun habe ich den Nenner bearbeitet und komme dort auf:

(s + \frac{k}{2 m})^{2} + \frac{g}{L} - (\frac{k}{2 m})^{2}

Also:

x (t) = A \cdot L T^{- 1} [\frac{s m + k}{(s + \frac{k}{2 m})^{2} + \frac{g}{L} - (\frac{k}{2 m})^{2}}]

Nun setzt man

ω^{2} = \frac{g}{L} - (\frac{k}{2 m})^{2}

Das ist die Winkelgeschwindigkeit. Wenn ich das nun richtig verstanden habe setzt man

δ = \frac{k}{2 m}

und nennt das logarithmisches Dekrement?

Man setzt auch

ω_{0}^{2} = \frac{g}{L}

und nennt es die Eigenfrequenz des Systems ist das korrekt?

Was ist der Unterschied zwischen Der Eigenfrequenz

ω_{0}

und der Winkelgeschwindigkeit

ω

?

Nun kann man Man erhält dann:

x (t) = A \cdot L T^{- 1} [\frac{s m + k}{(s + δ)^{2} + ω_{0}^{2} - δ^{2}}]

Soweit erstmal ist das richtig?

Danach möchte ich gerne die Fälle Kriechfall; Schwingfall und aperiodischer Grenzfall besprechen.

Danke soweit! :-)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

ledum aktiv_icon

19:52 Uhr, 29.06.2015

Hallo
warum willst du diese einfache Dgl mit LT lösen?
zu den Nebenfragen: bei Pendeln ist das Wort "Winkelgeschwindigkeit, das man bei Kreisbewegungen hat nicht passend

ω = 2 π \cdot f, f

=Frequenz bezeichnet man meist als "Kreisfrequenz",

\frac{ω}{0}

ist deshalb auch nicht die "Eigenfrequenz sonder die ist

\frac{ω_{0}}{2 π}

und ist die Frequenz des ungedämpften Pendels
was

\frac{k}{2} m

bedeutet siehst du erst , wenn du wirklich

x (t)

explizit hinschreibst.

\frac{k}{2 m}

ist die sog. "Abklingkonstante:
das log Dekrement siehst du in wiki nach!
Gruß ledum

gonnabeph aktiv_icon

20:24 Uhr, 29.06.2015

Hallo ledum, wie soll man denn sonst diese "einfache" DGL lösen?

ALso

ω_{0}^{2} = \frac{g}{L}

ist die Eigenfrequenz und

ω = \sqrt{ω_{0}^{2} - δ^{2}}

ist die Kreisfrequenz?
Ok,

δ = \frac{k}{2 m}

bezeichnet man dann als Abklingkonstante.

Nun gibt es die 3 Fälle:
1) Kriechfall
2) aperiodischer Grenzfall
3) Schwingfall

Das ist lediglich eine Definition um anzugeben was passiert wenn

ω = \sqrt{ω_{0}^{2} - δ^{2}}

größer

0

, kleiner Null oder gleich Null ist, habe ich das richtig verstanden?

Das heißt dann auch das die Schwingung nur davon abhängt wie

ω_{0}^{2} - δ^{2}

sich verhält?

In dem Fall spricht man von Kriechfall wenn

ω_{0}^{2} - δ^{2} > 0

aperiodischer Grenzfall wenn

ω_{0}^{2} - δ^{2} = 0

und Schwingfall wenn

ω_{0}^{2} - δ^{2} < 0

.

Die ersten beiden machen keine Probleme allerdings taucht bei dem Schwingfall komplexe Zahlen auf da die Wurzel sonst nicht definiert ist.
Ist das soweit korrekt wie ich es verstanden habe?

Grüße

ledum aktiv_icon

01:58 Uhr, 30.06.2015

Jallo

ω_{0}^{2}

ist keine Frequenz und keine Eigengrequenz. die Eigenfrequenz ist

f_{0} = ω_{0} ((3 π)

lineare homogene Dgl löst man mit den Ansatz

x (t) = e^{λ \cdot t}

wegen der Anfangsbed. aich mit

A \cdot e^{r \cdot t} \cdot \frac{cos}{ω \cdot t}

und bestimmt

r

und

ω

bzw

λ_{1}

und

λ_{2}

was ist denn dein LT^(-1)(---)?
eigentlich keine Definition, sondern anschauliche Namen, für das was in den 3 fällen passiert.
Gruß ledum

gonnabeph aktiv_icon

21:35 Uhr, 01.07.2015

Die Eigenfrequenz des Systems ist dann

ω = \sqrt{\frac{g}{L} - (\frac{k}{2 m})^{2}}

oder?

Was ist dann

ω^{2} = \frac{g}{L}

?

Was ist dann die Resonanzfrequenz?

Gruß

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