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Gefälle eines Graphen
Schüler Gymnasium, 11. Klassenstufe
Tags: Ansatz
 
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Hallooo liebe Mathe-Freaks Heute handelt es sich um die Frage wie man das Gefälle eines Graphen einer Funktion berechnet. Also die Frage "Wo fällt der Graph am stärksten?" Wie muss ich anfangen, um das algebraisch auszurechnen? Mir fällt gerade keine passende Funktion ein, falls jemand mir anhand einer Funktion (möglichst e-Funktion!) ein Beispiel zeigen kann, wäre das unglaublich super! Ich weiß nämlich absolut nicht, wie man herausfindet, an welcher Stelle der Graph am stärksten fällt. Danke an alle, die sich damit auseinandersetzen :-) Viel Spaß! Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.) |
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Kurz: Du brauchst die Nullstellen der zweiten Ableitung, in denen die dritte Ableitung positiv ist. Wenn du eine intuitive Erklärung haben willst, sag Bescheid. |
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Gegeben ist dann diese Funktion zum Beispiel: Wie rechnet man dazu das Gefälle des Graphen aus? Könntest du mir dazu vielleicht einen Lösungsweg schreiben, damit ich es als Vorlage für andere Aufgaben benutzen kann? Ich hoffe ich kann das dann nachvollziehen. Ich wüsste nichtmal genau wie ich die Ableitung dazu mache, leider:-D) Danke! |
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Du kannst jeden Summanden einzeln ableiten. . Hier wäre dann also |
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Also ist die erste Ableitung f´(x)= ? Die Zweite müsste demnach ja die Gleiche sein, weil die e-Funktion abgeleitet ja sie selbst ist, richtig? Nur wenn ich setze, wie setze ich´s dann gleich? Was ist der nächste Schritt? Muss ich mit dem natürlichen Logarithmus rechnen und wenn ja,wie? Umformung ist nicht so mein Ding! |
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Bei der zweiten Ableitung verschwindet das Minus wieder. Um sie Null zu setzen brauchst du den ln, ja. |
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Ah, ist das Kettenregel? Also weswegen das Minus verschwindet bei der 2. Ableitung? (Innere äußere Funktion?) Also demnach dann und was kommt dann raus? ? oder Ist das richtig ? Nein,oder ? Ich weiß einfach nicht wie man dann richtig umformt |
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Naja, nicht wirklich die Kettenregel, beim nochmaligen Ableiten kommt noch ein Minus runter und kompensiert das, das schon von der ersten Ableitung da war. Zur Umformung: Die erste Variante stimmt also. |
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Und dann für in die 3. Ableitung einsetzen? Wie die Ableitung jetzt lautet, habe ich nicht verstanden. "kompensiert"? Was heißt das und wie ist die 3. Ableitung dann? Was ist dann das Gefälle oder wie bestimme ich das genau ? |
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Sorry, "kompensiert" heißt soviel wie "aufgehoben". Die dritte Ableitung geht genau analog. Blöderweise fällt mir gerade auf, dass ln(0) nicht definiert ist. Hast du sicher die Angabe richtig eingetippt? |
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Jaa, bin ich. Hmm, die Aufgabe ist blöd. Fällt dir denn eine e-Funktion ein, bei der dieses Verfahren einfacher durchzuführen ist? Sonst lassen wirs einfach |
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Naja, wenn du dir eine e-Funktion aufmalst, siehst du, dass ihre Steigung immer größer wird und nie ein Maximum annimmt. Man könnte natürlich sowas wie nehmen, aber ich nehm mal an, du willst deine Aufgabe lösen. |
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Ich möchte einfach nur ein Beispiel haben, wie man das Gefälle einer Funktion ausrechnet. Die e-Funktion die ich grade genommen habe, war blind ausgewählt. Also falls du eine einfachere hast, mit der du das rechnen kannst, also alles von vorne bis hinten . Ableitung gleich 0 setzen, etc. Dann wäre es perfekt wenn du mir das zeigst, weil sowas bei mir in der Klausur vorkommt und ich ganz genau wissen muss, wie ich das angehe bis zum bitteren Ende Hauptsache ich habe ein Beispiel! Von irgendeiner e-Funktion einen Punkt an dem der Graph am stärksten fällt. Wenn du die Zeit und Lust hast mir das zu machen, bin ich unglaublich dankbar!! Falls nicht, ist es auch kein Problem. Liebe Grüße! :-) |
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Ok, ich dachte schon, die Aufgabe ist irgendwo so gestellt gewesen. :-) Dann nehmen wir doch . Versuche die ersten drei Ableitungen davon zu bilden. Achtung: Ab der zweiten brauchst du die Produktregel! |
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Also: 1. -2xe^-x² 2. -2x(-2e^-x²) 3. -2*(-2e^-x²) Ist das zufällig richtig ? Ich glaube zwar nicht, aber hoffe mal. Hab´s versucht Falls die falsch sind, kannst du/ jemand mir die richtigen sagen? Der Tag der Klausur kommt immer näher |
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Oder ist die 2. Ableitung: f´´(x)= -2x*-2e^-x² und die 3. demnach: f´´´(x)= ^-x² Stimmt das vielleicht? |
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Die erste Ableitung ist richtig und ab der zweiten musst du die Produktregel verwenden. Kennst du sie? |
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Warum die Produktregel? Kettenregel geht doch genauso. |
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Eigentlich brauchst du beide, aber in erster Linie hast du ja ein Produkt: |
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mit der Kettenregel hätte ich -8xe^-x² raus. Und das ist falsch? Weil das haben auch viele andere. Und mit der Produktregel wäre es dann -2e^-x²+4x^(2-x²) ? oder wieder falsch ? |
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Also die erste Version ist auf jeden Fall falsch. Wie bist du denn drauf gekommen? Bei der zweiten stimmt der erste Summand. Wie bist du denn auf den zweiten gekommen? |
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Ich habe alle paar Minuten was anderes raus :-D) Moment, ich versuchs nochmal : -2e^-x²+4x² *e^-x² Das muss jetzt aber mal richtig sein! Oder ? |
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Ja, jetzt passt alles. Auf zur dritten Ableitung! :-) |
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Ey wie schwer ist das eigentlich ? :-D) heeftig e^-x+4x(-2e^x²)+8xe^-x²-8x³e^x² Ist das irgendwie 2 mal Produktregel und 2 mal Kettenregel oder so? Falls das falsch ist, kannst du mir dann die Lösung vielleicht endlich mal verraten? Ich muss auch noch zum Gefälle kommen, sonst krieg´ich das nie hin. |
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Ja, ist schon etwas aufwendig. Du scheinst etwas Probleme mit dem Ableiten zu haben, also ist das doch eine gute Übung. Langsam hast du's drauf. ;-) Zur dritten Ableitung. Ich glaube, da haben sich ein paar Tippfehler eingeschlichen, der Exponent der e-Funktion müsste ja immer bleiben und bei dir kommen alle möglichen anderen Exponenten vor. Du hast hier ja zwei Summanden. Den ersten kannst du ganz einfach nach der Kettenregel ableiten, den zweiten wieder nach der Produktregel. Versuchst du's nochmal? :-) |
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-2e^-x² das ist jetzt das Problem. Darf ich den nur mit Kettenregel machen oder muss ich auch die Produktregel anwenden? Das wäre dann ja hoffe ich (endlich mal) : 4xe^-x²+8xe^-x²-8x³e^-x² |
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Perfekt, alles richtig! :-) Dann mal zur eigentlichen Aufgabe: Die extremale (minimale/maximale) Steigung einer Funktion ergibt sich als Nullpunkt der ersten Ableitung des Steigungsfunktion. Nachdem die Steigungsfunktion die erste Ableitung ist, entspricht das der Nullstelle der zweiten Ableitung der Ausgangsfunktion. Du brauchst also jetzt die Nullstellen der zweiten Ableitung. Dafür ist es hilfreich zu wissen, dass eine e-Funktion nie Null werden kann, damit kannst du sie einfach kürzen. |
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Darf ich die e´s mit samt Potenz tatsächlich einfach so wegkürzen oder gilt da wieder eine Regel was mit den Exponenten geschieht? |
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Naja, du hast ja eine Summe und an jedem Summanden hängt die gleiche e-Funktion (nämlich . Also kannst du sie ganz normal ausklammern, als wäre sie irgendeine Zahl, und kürzen, weil sie nie Null wird (und du somit sicher nicht durch Null geteilt hast). |
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Ist bzw Wurzel aus ? |
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Ja, genauer gesagt, . Jetzt kannst du beide Werte in die dritte Ableitung einsetzen und schauen, ob die Steigung an dieser Stelle ein Minimum oder ein Maximum hat. |
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Wenn ich eingesetzt habe, habe ich rausbekommen, und bei dann . Und was bringt mir das ? Wie berechne ich denn Maximum oder Minimum? |
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Wenn du den genauen Wert der Steigung finden möchtest (und nicht den Ort, wo diese Steigung auftritt), dann musst du die Werte in die erste Ableitung einsetzen, die gibt die Steigung an. :-) |
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Nee also ich brauche schon den genauen Ort also den Punkt, wo der Graph am stärksten fällt.. aaaalso? :-D) |
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Naja, vom Ort hast du die x-Koordinate ja schon bekommen. Wie kriegst du dann die y-Koordinate? |
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Ist die x-Koordinate ? Und muss ich die dann in die normale Funktion einsetzen, um die y-Koordinate zu bekommen? Und das wars ? :-) |
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Genau. :-) Allerdings würde ich nicht sofort runden, sondern direkt einsetzen. |
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