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Gefäße wie Zylinder
Universität / Fachhochschule
Gewöhnliche Differentialgleichungen
Tags: Gewöhnliche Differentialgleichungen
 
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Hallo liebe Mathematiker, ich habe eine Aufgabe, bei der es mir sehr geholfen wäre, wenn sie jemand lösen könnte. Vielen dank jetzt schon. Ein Gefäß besteht aus einem Zylinder mit angsetzter Halbkugel. Welche Form muss es haben, damit es ohne Deckel bei gegebener Oberfläche ein möglichst großes Volumen hat? Bitte um Hilfe Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich benötige bitte nur das Ergebnis und keinen längeren Lösungsweg." |
| Hierzu passend bei OnlineMathe: Zylinder (Mathematischer Grundbegriff) |
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Hallo, ich bin zwar kein Mathematiker, aber ich erlaube mir trotzdem mal, Dir zu antworten. "Ein Gefäß besteht aus einem Zylinder mit angsetzter Halbkugel. Welche Form muss es haben, damit es ohne Deckel bei gegebener Oberfläche ein möglichst großes Volumen hat?" Ist das wirklich die Aufgabenstellung? Die Form ist doch schon gegeben, es ist ein Zylinder mit angsetzter Halbkugel. Ist hier nicht eher nach den Maßen des Körpers gefragt? Gruß, smoka |
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Ja die Frage nach den Maßen käme jetzt und zwar: Ein Kessel besteht aus einer Halbkugel mit aufgesetztem Zylindermantel. Wie sind seine Maße zu wählen, damit er mit Deckel bei gegebener Oberfläche ein möglichst großes Volumen hat? |
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Hallo, ich möchte smoka widersprechen. Die Form des Körpers ist noch nicht vollständig bekannt. Dadurch, dass die Halbkugel an den Zylinder angesetzt ist, müssen beide den selben Radius haben. Aber die Länge des Zylinders im Verhältnis zum Radius ist noch offen. In Abhängigkeit von diesem Verhältnis ändert sich die Form gewaltig - von Halbkugel mit kleinem hochstehenden Rand bis zu langem, dünnem Zylinder mit halbkugelförmigem Boden. Was die Rechnung angeht, für ein maximales Volumen bei vorgegebener Oberfläche, so kann man erst mal die beiden Formeln für und aufschreiben: Der erste Summand ist jeweils der Beitrag des Zylinders, der zweite von der Halbkugel. ist ein konstanter Parameter. Dann kann man die zweite Gl. nach auflösen und das Ergebnis in die erste Gl. einsetzen. Damit ist die Variable aus der Gleichung für das Volumen eliminiert und man hat eine Volumenformel, die nur noch von einer Variablen abhängt. Mit Hilfe der Ableitungen kann jetzt der Radius bestimmt werden, bei dem das Volumen maximal wird. Die zweite Aufgabe (Kessel mit Deckel) geht im Prinzip genauso, nur muss die Formel für so ergänzt werden, dass sie auch den Beitrag des Deckels enthält. Gruß QPhma |
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Okay den ersten Teil habe ich verstanden. Danke :-) Habe nun auch schon und ermittelt.
Aber jetzt weiß ich nicht, welchen Teil ich noch für den Deckel bei anhängen soll. Bzw weiß ich nicht welche Form der Deckel hat. Kann mir das vielleicht jemand sagen? :-) |
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Durch die Halbkugel ist das Gefäß an der einen Seite schon geschlossen. Die offene Seite muss also der Zylinder sein. Wenn man auf einen Zylinder . B. auf einen ganz normalen Topf) einen Deckel legen will, welche geometrische Form hat dann dieser Deckel? |
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ja einen kreis... |
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Richtig. Und die Fläche dieses Kreises, also musst Du zur Oberfläche noch addieren und dann wieder alles durchrechnen. An der Volumenformel ändert sich ja nichts durch den Deckel. |
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aber was heißt genau durchrechnen soll ich jtz zB nach umrechnen ..und was kommt dann für raus? |
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Ja, wieder die gleiche Prozedur wie bei der Aufgabe ohne Deckel. Als erstes die Oberflächenformel nach auflösen. Vorher solltest Du die Terme in der Oberflächenformel so weit wie es geht zusammenfassen. Dann die Variable in der Volumenformel durch den Ausdruck aus der Oberflächenformel ersetzen, so dass sich eine Vlumenformel ergibt, die nur noch von abhängt. Davon kannst Du dann das Maximum suchen. |
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Ja nur das komische ist, das genau das gleiche für herraus kommt, nämlich /2pi*r |
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Kann nicht sein. Die Oberfläche ist ja jetzt größer: (Zylindermantel Halbkugeloberfläche Kreis) |
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was kommt dann für raus?
O/2*π*r ?? |
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Richtig. Und das jetzt in die Volumenformel einsetzen. |
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Ich vertue mich immer beim Kürzen. Kannst du mir die gekürzte Formel fürs Volumen mit eingesetztem sagen? Danke ! |
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Die Formel für das Volumen war . Wenn man darin jetzt den neuen Ausdruck für einsetzt, bekommt man : Allerdings verstehe ich nicht, was das mit Kürzen zu tun hat. Was man noch machen kann, ist, die Klammer auszumultiplizieren und dann zusammenzufassen. Versuch mal! |
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Hi, "Ich möchte smoka widersprechen. Die Form des Körpers ist noch nicht vollständig bekannt. Dadurch, dass die Halbkugel an den Zylinder angesetzt ist, müssen beide den selben Radius haben. Aber die Länge des Zylinders im Verhältnis zum Radius ist noch offen. In Abhängigkeit von diesem Verhältnis ändert sich die Form gewaltig - von Halbkugel mit kleinem hochstehenden Rand bis zu langem, dünnem Zylinder mit halbkugelförmigem Boden." Das stimmt nicht. Nenn es wie Du willst, ob "Halbkugel mit kleinem hochstehenden Rand" (auch wenn ich mir darunter nichts vorstellen kann...) oder "langer, dünner Zylinder mit halbkugelförmigem Boden", mathematisch ist und bleibt es ein Zylinder mit aufgesetzter Halbkugel und damit ist die Form eindeutig bestimmt. Gruß, smoka |
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Ja das meine ich doch ;-) Habe die Klammer ausmultipliziert und dann zusammengefasst. Dann kann man noch was wegkürzen. Ich wollte einfach nur die zusammengefasste Formel wissen, weil ich nicht drauf komme.. |
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Am besten Du schreibst hier mal die letzte Form Deiner Volumenformel auf. Dann kann ich sehen, wo Du hängst. Meiner Meinung nach kann man nach dem Zusammenfassen nicht mehr Kürzen, sondern Du musst dann weitermachen mit den Ableitungen. |
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Kann ja auch sein, dass der Zylinder ganz wegfällt bei maximalem Volumen. Dann wäre die Form eben eine Halbkugel. Man denke dran, dass bei gegebener Oberfläche die Kugel das größte Volumen hat. |
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Hallo Shipwater, ohne Deckel stimmt das, aber mit Deckel nicht. Denn dann hat man einen geschlossenen Körper, dessen Form per Definition keine Kugel ist. QPhma |
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Hallo QPhma, ich bezog mich auf die erste Aufgabe, wo nach der Form bei maximalem Volumen gefragt ist. Also ohne Deckel, danke trotzdem für den Hinweis. Gruß Shipwater |
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