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Gegenbeispiel bei Division von Vektoren
Lehrer
Tags: Analytische Geometrie, Division, Grundlagen, Vektor, Widerspruch?
 
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Einige meiner Schüler haben versucht, entsprechend der Vektoraddition, also . Vektoren zu dividieren: (jeweils in Vektorschreibweise natürlich). Kann mir jemand ein Rechenbeispiel angeben, das mit dieser Art von Rechenweise zu einem Widerspruch führt? Danke! Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
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| Hierzu passend bei OnlineMathe: Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de: Multiplikation und Division von Brüchen Parallelverschiebung Rechnen mit Vektoren - Einführung Rechnen mit Vektoren - Fortgeschritten Skalarprodukt | |
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anonymous 21:10 Uhr, 15.11.2014 |
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Es spricht zunächst nichts dagegen, neben komponentenweiser Addition/Subtraktion auch eine entsprechende komponentenweise Multiplikation/Division zu definieren. Ich sehe da keinen Widerspruch. Ob solch eine Division sinnvoll/hilfreich ist, ist wieder eine andere Frage. Allerdings hat man natürlich das Problem, dass eine Division nicht für alle Vektoren definiert ist. Denn beispielsweise bei hat man das Problem, dass man beim berechnen der 2. Komponente berechnen müsste. Da setzt sich dann das Problem fort, was man beim zugrundeliegenden Körper auch hat und sich entsporechend fortsetzt: Eine Divison durch 0 ist nicht definiert. Wobei es hier nicht nur ein Element (der Nullvektor) ist, bei dem das nicht funktioniert, sondern alle bei denen zumindest eine Komponente 0 ist. Ein weiterer Hinweis: Du sprichst von Vektoren? und sind zunächst einmal nur Zahlentripel. Um von Vektoren reden zu können, müssen diese ja zu einem Vektorraum gehören. (Welchem?) Und in einem Vektorraum gibt es zunächst einmal nur eine Addition und eine skalare Multiplikation. (Wie auch immer die aussehen!) Wenn deine Schüler jetzt eine Division benutzen, die zuvor nicht definiert/eingeführt, sollen sie diese doch bitte zunächst ordentlich definieren! |
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Das mit der Null-Komponente (bzw. -Koordinate) habe ich mir inzwischen auch überlegt. Ein weiterer Widerspruch besteht in der Schülerrechnung darin, dass Vektor1 Vektor2 da steht, wobei eine relle Zahl darstellt. Wenn man nun durch Vektor2 dividieren würde, stünde dann auf einer Seite des Gleichheitszeichens eine reelle Zahl, auf der anderen ein . Vektor. Ich hoffe, meine Zehntklässler sehen das mit den beiden Argumenten ein. Vielen Dank für die Hilfe! |
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Wenn man Division definieren möchte, dann fragt sich doch zuerst, auf welche der Multiplikationsarten bezieht sich diese ? Skalarprodukt: Lässt sich das sinnvoll umkehren ? "teilt" man das Skalarprodukt durch einen Vektor, ergäben sich unendlich viele mögliche Vektoren, die zusammen mit dem "Teiler" das vorgegebene Skalarprodukt erzeugen könnten. Kreuzprodukt: Der "geteilt" durch ergäbe unendlich viele Vektoren für , die den gleichen Kreuzproduktvektor erzeugen könnten. Beide Divisionen ergeben also keinen bestimmten Wert und sind daher sinnfrei. |
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