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Gegenbeispiel faktorieller Ring

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Ringe

Tags: faktorieller ring, irreduzibel, Primelement, Ring

Lyla93 aktiv_icon

08:58 Uhr, 31.08.2017

Ich will zeigen, dass

ℤ [\sqrt{- 5}]

kein faktorieller Ring ist. Ich weiß, dass Beispiel findet man öfters mal durchgerechnet, allerdings versteh ich es nirgends ganz.. Ich würde mich um jede Hilfe freuen!

Hier meine Ideen dazu:
Ein faktorieller Ring ist insb. ein Integritätsbereich und hier gilt, dass jedes primelement auch irreduzibel sein muss. (Doofe Frage gleich vorweg: Ich dachte,

ℤ [\sqrt{- 5}]

wäre Beispiel für einen Integritätsbereich?? Das würde dem aber ja widersprechen). Ich versuche zu zeigen, dass dies hier nicht gilt:

Dafür nehme ich die Zerlegung, die ich überall schon gesehen habe:

6 = 2 * 3 = (1 + \sqrt{- 5}) * (1 - \sqrt{- 5})

. Jetzt lese ich überall nur: Faktoren sind irreduzibel aber keine zwei sind assoziiert --> nicht faktoriell. Was ist mit assoziiert gemeint?

Ich habe irgendwo gesehen, dass man zeigen kann: 2 ist nicht prim aber 2 ist irreduzibel, das widerspricht einem faktoriellen Ring. Hier meine Ideen:
- Wenn 2 prim wäre, dann würde 2, wenn es a*b teilt, auch a oder b teilen. Man sieht 2 teilt 6, also müsste es auch

(1 + \sqrt{- 5})

oder

(1 - \sqrt{- 5})

teilen. Macht es aber nicht, nur warum? Ich hätte gesagt weil

(1 - \sqrt{- 5}) / 2

keine ganze Zahl mehr ergibt, analog

(1 + \sqrt{- 5}) / 2

??
- 2 ist irreduzibel, wenn aus

2 = (a_{1} + a_{2} \sqrt{- 5}) * (b_{2} - b_{2} \sqrt{- 5})

folgt, dass

(a_{1} + a_{2} \sqrt{- 5})

oder

(b_{2} - b_{2} \sqrt{- 5})

eine Einheit ist. Wie zeige ich das?

Ich habe auch noch eine allgemeine Frage: Ich habe gelesen dass die Aufspaltung 6=2*3=(-2)(-3) nicht funktioniert, da -1, 1 Einheiten. Wie sehe ich denn schnell, was die Einheiten sind und warum funktioniert dann die Aufspaltung nicht?

Bitte nicht einfach auf irgendwelche Seiten hinweisen, ich habe schon so viel gelesen, bräuchte aber wirklich mal direkte Antworten zu meinen Fragen...

Liebe Grüße!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

ermanus aktiv_icon

10:00 Uhr, 31.08.2017

Hallo,
bei deiner "doofen Frage" hast du richtig geschrieben, dass prim

\Rightarrow

irreduzibel
folgt. Die Umkehrung gilt aber eben nicht, wie das Beispiel

ℤ [\sqrt{- 5}]

ja gerade zeigt.
Man will also in diesem Gegenbeispiel zeigen, dass es irreduzible Elemente gibt, die
nicht prim sind. Für die Zahl

6

findet man die von
dir angegebenen Zerlegungen in irreduzible Elemente.
Zwei Elemente

a, b

heißen assoziiert, wenn

a = u \cdot b

mit einer Einheit

u

ist,
was natürlich äquivalent zu

b = v \cdot a

mit einer Einheit

v

ist, nämlich mit

v = u^{- 1}

.
Man betrachtet nun bequemerweise die Normen der beteiligten Elemente

N (a), N (b)

und

N (u)

. Wegen

N (x y) = N (x) N (y)

folgt rasch

N (u) = \pm 1

für jede Einheit

u

.

Die Normen der irreduziblen Zerlegungen von

6

sind:

N (2) = 4, N (3) = 9, N (1 + \sqrt{- 5}) = 6

und

N (1 - \sqrt{- 5}) = 6

.

Wären also z.B.

2

und

1 + \sqrt{- 5}

assoziiert, dann müsste ja

4 = \pm 6

sein, usw.

Wenn

2

reduzibel wäre, z.B.

2 = x y

mit

N (x), N (y) \neq \pm 1

,
dann hätte man

N (x) = \pm 2

, also mit

x = a_{1} + a_{2} \sqrt{- 5}

wäre dann

N (x) = a_{1}^{2} + 5 a_{2}^{2} = \pm 2

, was

a_{1}^{2} = 2

liefern würde. Dies ist
aber offenbar in

ℤ

nicht möglich.

Du siehst also, dass man in solchen Ringen wie

ℤ [\sqrt{- 5}]

die Norm sehr nutzbringend anwenden kann.

Gruß ermanus

Lyla93 aktiv_icon

13:59 Uhr, 31.08.2017

Wow super danke!! So verständlich erklärt! Ich habe fast jeden Schritt verstanden, an einer Stelle hänge ich aber noch... Vielleicht stehe ich aber nur auf dem Schlauch!

Warum gilt: Wenn 2 reduzibel wäre, zB

2 = x y

mit N(x),N(y) ungleich +-1 (also beides keine Einheiten, denn sonst wäre 2 ja irreduzibel) genau

N (x) = + - 2

?

Edit: Ach ja klar! Weil Norm von 2 war ja 4, und 4=1*4, dann hätten wir aber eine Einheit, genauso wie 4*1 (auch Einheit) also bleibt nur 2=2*2 und damit muss die Norm von x 2 sein!!!

Und 6=2*3=-2*-3 geht jetzt nicht, weil ich 2 und -2 assoziieren kann: 2=-1*-2, also mal der Einheit ergibt sich das jeweils andere! :-)

Wenn ich das jetzt für den Polynomring

ℤ [\sqrt{- 6}]

zeigen will, wie komme ich da auf eine geeignete Aufspaltung?

ermanus aktiv_icon

14:46 Uhr, 31.08.2017

Da kenne ich leider keine einfache Methode außer der des Probierens,
z.B. ist

2 \cdot 5 = 10 = (a_{1} + a_{2} \sqrt{- 6}) (a_{1} - a_{2} \sqrt{- 6}

vermutlich interessant. Also, gut probier !!!

Lyla93 aktiv_icon

21:30 Uhr, 31.08.2017

Ich versuche mich mal daran :-)

Also ich will zeigen:

ℤ [\sqrt{(- 6)}]

ist kein faktorieller Ring. In einem faktoriellen Ring muss gelten: Jedes irreduzible Element muss auch primelement sein. Ich finde jetzt ein Element, dass irreduzibel ist, aber nicht prim. Damit kann dieser Ring kein faktorieller Ring sein (demnach "nur" ein Integritätsbereich).

Dafür brauche ich wieder meine Aufspaltung:

2 * 5 = 10 = (2 + \sqrt{(- 6)}) * (2 - \sqrt{(- 6)}) .

Ich betrachte wieder die Norm, hier:

N (a + b \sqrt{(- 6)}) = a ² + 6 b ²

Die Einheiten sind auch hier wieder +-1, damit die Norm N(xy)=N(x)N(y) erfüllt ist. Nun zu den Normen der irreduziblen (muss ich noch zeigen dass sie irreduzibel sind?) Zerlegung von 10:

N (2) = 4, N (5) = 25, N (2 + \sqrt{(- 6)}) = 4 + 6 = 10, N (2 - \sqrt{(- 6)}) = 4 + 6 = 10 .

Wären jetzt z.B. 2 und

(2 + \sqrt{(- 6)})

assoziiert, dann wäre ja 4=10. Genauso wäre jetzt 5 mit

(2 + \sqrt{(- 6)})

assoziert, dann wäre 25=10... usw! Das heißt die Elemente sind nicht prim (folgt aus "nicht assoziiert" auch "nicht prim"? Dachte für Prim muss ich zeigen, dass 2 z.B.

(2 + \sqrt{(- 6)})

nicht teilt? Dann könnte doch aber auch

(2 + \sqrt{(- 6)}) = 2 * a

und a müsste keine Einheit sein oder)

Wäre 2 reduzibel, mit 2=xy und N(x),N(y) ungleich +-1 (sonst wären es ja Einheiten), dann wäre N(x)=2,N(y)=2 um auf N(2)=4 zu kommen. Mit

x = a_{1} + a_{2} \sqrt{(- 6)})

wäre dann

N (x) = a_{1}^{2} + a_{2}^{2} * 6 = 2

, womit gelten müsste:

a_{1}^{2} = 2

, das ist in Z nicht möglich.

Also: 2 ist ein irreduzibles Element, aber nicht prim. Damit ist der Ring kein faktorieller Ring.

ermanus aktiv_icon

22:59 Uhr, 31.08.2017

Wenn

2

und

2 + \sqrt{- 6}

assoziiert wären, dann wären ja

2

und

2 + \sqrt{- 6}

Teiler
von einander, dann wären aber auch

10 / 2 = 5

und

10 / (2 + \sqrt{- 6})

Teiler von einander,
also wären die Zerlegungen

2 \cdot 5

und

(2 + \sqrt{- 6}) \cdot (2 - \sqrt{- 6})

gar nicht
"echt" verschieden. Da sie nun aber nicht assoziiert sind und ebenso

2

und

2 - \sqrt{- 6}

nicht assoziiert sind, teilt

2

zwar das Produkt

(2 + \sqrt{- 6}) \cdot (2 - \sqrt{- 6})

,
aber keinen der beiden Faktoren, d.h. 2 ist irreduzibel, aber nicht prim.

Lyla93 aktiv_icon

08:54 Uhr, 01.09.2017

Okay alles klar! :-) Vielen Vielen Dank für deine tolle Hilfe!!!

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