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Genau eine Orthogonale Abbildung

Universität / Fachhochschule

Lineare Abbildungen

Tags: Linear Abbildung

xH0pp aktiv_icon

16:53 Uhr, 01.02.2018

Hallo Kann mir jemand kurz beim Bewies von diesem Satz helfen? Danke.
Es seien

A = (v 1,

. . . , vn) und

B = (w 1,

. . . , wn) zwei Orthonormalbasen von

R^{n}

.
Beweisen Sie, dass es genau eine orthogonale Abbildung

f : R^{n}

→

R^{n}

mit f(vi) = wi
für alle

i = 1,

. . .

, n

gibt.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich benötige bitte nur das Ergebnis und keinen längeren Lösungsweg."

michaL aktiv_icon

17:15 Uhr, 01.02.2018

Hallo,

was wisst ihr denn schon alles über
* Orthonormalbasen
* Orthogonale Abbildungen
* orthogonale Matrizen?

Wenn man schon weiß, dass in endlichen Vektorräumen die orthogonalen Abbildungen

f

genau die snd, wofür es eine orthogonale Matrix

Q

gibt mit

f (x) = Q x

, und schon bekannt ist, dass die Spaltenvektorn einer Orthonormalbasis als Matrix geschrieben eine orthogonale Matrix ergeben ergeben, dann ist die Sache eigentlich nicht mehr schwierig.

Denn dann kann man einfach beweisen, dass die Abbildungen

x \mapsto Q_{A} \cdot x

und

x \mapsto Q_{B} \cdot x

mit den oben angesprochenen Matrizen aus Spaltenvektoren der Basen

A

bzw.

B

orthogonale Abbildungen sind.

Wenn man nun noch weiß, dass das Produkt und Inverse einer orthogonaler Abbildungen wieder ortogonal ist, dann ist man leicht dabei zu zeigen, dass

φ (v_{i}) = w_{i}

vermöge

φ (x) = Q_{B} \cdot Q_{A}^{- 1} \cdot x

eine orthogonale Abbildung mit gewünschter Eigenschaft ist.

Dass es überhaupt höchstens eine lineare Abbildung

φ

gibt, für die

φ (v_{i}) = w_{i}

gilt, folgt schon daraus, dass eine Abbildung durch die Bilder auf einer Basis festgelegt ist.

Alles klar?

Mfg Michael

xH0pp aktiv_icon

17:40 Uhr, 01.02.2018

Das meiste davon wusste ich aus der Vorlesung aber wie soll ich das

''

Denn dann kann man einfach beweisen, dass die Abbildungen

x \to

QA⋅x und

x \to

QB⋅x mit den oben angesprochenen Matrizen aus Spaltenvektoren der Basen A bzw.

B

orthogonale Abbildungen sind.
Wenn man nun noch weiß, dass das Produkt und Inverse einer orthogonaler Abbildungen wieder ortogonal ist, dann ist man leicht dabei zu zeigen, dass φ(vi)=wi vermöge φ(x)=QB⋅Q−1A⋅x eine orthogonale Abbildung mit gewünschter Eigenschaft ist

''

in dem beweis benutzen ?

michaL aktiv_icon

19:12 Uhr, 01.02.2018

Hallo,

der Reihe nach:

1. Ist

B := {b_{1}, \dots, b_{n}}

eine orthonormale Basis des

ℝ^{n}

, so gilt ja

b_{i} * b_{j} = δ_{i, j}

(1) <- Gleichungszähler!
(Kronecker-Delta) für

1 \leq i, j \leq n

.

Nun sei

b_{i} := (\begin{array}{c} b_{i, 1} \\ ⋮ \\ b_{i, n} \end{array})

für alle

1 \leq i \leq n

und

Q_{B} := (b_{i, j})_{1 \leq i, j \leq n}

.

Behauptung:

Q_{B}

ist orthogonal.
Dazu müssen wir

^{t} Q_{B} \cdot Q_{B} = E

(2)
nachweisen. Klar ist, dass die

k

-te Zeile von

^{t} Q_{B}

gerade der Vektor

^{t} b_{k}

ist.
Wegen (1) folgt damit, dass die Ergebnismatrix von

^{t} Q_{B} \cdot Q_{B}

an der Stelle

i, j

(Zeile, Spalte) gerade den Eintrag

b_{i} * b_{j} = δ_{1, j}

hat, woraus die Gleichung (2) unmittelbar folgt.

Also ist

Q_{B}

tatsächlich orthogonal.

2. Wir können

x \mapsto Q_{B} \cdot x

als Basiswechsel von der Standardbasis zur Basis

B

auffassen. Klar ist wegen 1., dass diese Abbildung orthogonal ist.
Hoffentlich auch klar ist, dass damit auch die Inverse Abbildung bzw. die inverse Matrix

Q_{B}^{- 1}

wieder orthogonal sind.
(Wenn das in der Mitschrift steht, ist es gut. Wenn nicht, ist das aber unmittelbar aus

Q_{B}^{- 1} =^{t} Q_{B}

und der Tatsache einsichtig, dass zweimaliges Invertieren und zweimaliges Transponieren sich aufheben.)
Zudem sollte klar sein, dass da Produkt zweier orthogonaler Matrizen wieder orthogonal ist. (Ergibt sich aus

^{t} (X \cdot Y) =^{t} Y \cdot^{t} X

und

(X Y)^{- 1} = Y^{- 1} X^{- 1}

.)

Damit wird nun endlich klar, dass die Abbildung, die von der Basis

A

auf die Basis

B

wechselt, als Produkt orthogonaler Abbildungen wieder orthogonal sein muss.

3. Es gib ohnehin nur genau eine Abbildung

φ

mit der Eigenschaft

φ (v_{i}) = w_{i}

(3),
unabhängig davon, dass

A

und

B

ONBen sind, weil eine lineare Abbildung durch die Bilder auf einer Basis (wie

A

ja eine ist) festgelegt ist.

Was haben wir also: Es gibt nur eine Abbildung

φ

(wegen 3.), und diese ist wegen 1. und 2. orthogonal.
Fertig.

Mfg Michael

xH0pp aktiv_icon

21:52 Uhr, 01.02.2018

Danke für deine Antwort jetzt sieht das leicht aus, haha :-) Mein Problem ist immer dieses Anfangen und wie ich das zum Ergebnis führe... Also

z . B

den Ersten Teil wo du zeigst das Qb Orthogonal ist .

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