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GeoGebra e-funktion zeichnen?

Schüler Gymnasium, 12. Klassenstufe

Tags: e-Funktion, GeoGebra, Zeichnung

anonymous

13:26 Uhr, 25.05.2013

Hallo ich habe gerade Schwierigkeiten mit dem Umgang von GeoGebra.
Ich schaff es nicht eine e-Funktion zu zeichnen mit dem Programm.
e-Funktionen sind:

20 - 20 \cdot e^{- 0,05 \cdot x}

und

e^{0,05 \cdot x}

Kann mir da jemand helfen?
Für

e

gebe ich auch exp() ein, aber es funktioniert nicht.
So habe ich es versucht: f(x)=20-20*exp^(-0,05*x)

\to

gilt aber als ungültig!

Danke!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
e-Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

e-Funktion

anonymous

13:36 Uhr, 25.05.2013

Das Komma bei

-0,05

sollte durch einen Punkt ersetzt werden. Wie beispielsweise im englischsprachigen Raum und daher auch bei vielen Programmen üblich, werden in Geogebra Punkte statt Kommata bei Dezimalbrüchen verwendet. Dass Komma dient hier zum Trennen von verschiedenen Eingabeargumenten.

Außerdem ist das

^

zu viel. Korrekte Eingaben sind

e^x

oder

e x p(x),

aber nicht

e x p^(x)

.
Da dann nämlich die Klammern nicht direkt hinter

e x p

stehen, interpretiert GeoGebra

e x p

so nicht als Funktion sondern als Variable, die nicht definiert ist.

Also:

f(x)=20-20*e x p(-0.05*x)

oder

f(x)=20-20*e^(-0.05*x)

anonymous

13:48 Uhr, 25.05.2013

Super, danke für die schnelle Antwort!!!
Wüsstest du vielleicht, wie man die beiden Graphen beschreiben könnte?

anonymous

14:22 Uhr, 25.05.2013

Ich nenne die Funktionen mal

f

und

g,

so dass:

f (x) = 20 - 20 \cdot e^{- 0,05 \cdot x}

g (x) = e^{0,05 \cdot x}

Bei der Beschreibung würde ich sagen, dass es sehr auf den Zusammenhang ankommt.

Ich würde die Funktionen wohl allgemein folgendermaßen beschreiben:

Die Funktion

g

ist eine Exponentialfunktion, welche eine exponentielles Wachstum mit Anfangswert (bei

x = 0)

gleich 1 und Wachstumskonstante

0,05

beschreibt.

Die Funktion

f

ist eine Funktion, welche ein beshcränktes (exponentielles) Wachstum mit Anfangswert (bei

x = 0)

gleich

0,

natürlicher Schranke gleich

20

und Wachstumskonstante

0,05

.

Den Graphen der Funktion

f

erhält man in dem man den Graphen von

g

am Koordinatenursprung spiegelt, anschließend um

1

in y-Richtung verschiebt und dann mit dem Faktor

20

in y-Richtung streckt.

anonymous

14:50 Uhr, 25.05.2013

Super danke!!

Die Antwort ist gut verständlich.
Wenn es jetzt heißt, die Funktion

m (t)

beschreibe die tatsächliche Medikamentenmenge im Körper eines Menschen zum Zeitpunkt

t

nach Beginn der Behandlung von Arzneimitteln.

Wie würde man die Funktionen dann beschreiben?

Als kleine Hilfe: www.onlzoberurff.info/M-Mathe-07/A1.pdf
Ist fast die selbe Aufgabe, wie die meine..

anonymous

15:00 Uhr, 25.05.2013

Edit:
Sorry, da habe ich aus Versehen doppelt geantwortet.

anonymous

15:10 Uhr, 25.05.2013

m (t) = 20 - 20 \cdot e^{- 0,05 \cdot x}

Meine Beschreibung:

Zu Beginn

(t = 0)

befindet sich nichts von dem Medikament im Körper:

m (0) = 0

Die Medikamentenmenge steigt dann, einem beschränkten (exponentiellen) Wachstum mit Wachstumskonstante gleich

0,05

entsprechend, streng monoton an.

Für

t \to \infty

stellt sich dann als Grenzwert eine Medikamentenmenge von

20

im Körper eines Menschen ein.

Wobei meine Beschreibung genau genommen nun nicht direkt die Funktion, sondern ihre Bedeutung beschreibt. Das ist aber wohl das, was hier gemeint ist.

Allgemein für (nach oben) beschränktes (exponentielles) Wachstum:

M (t) = S - (S - M_{0}) \cdot e^{- k \cdot t}

mit

k > 0

M_{0}

ist Anfangswert.

k

ist Wachstumskonstante.

S

ist die natürliche Schranke.

Es gilt offensichtlich:

M (0) = M_{0}

lim_{t \to \infty} m (t) = S

und

m (t) < S

für alle

t \in ℝ

anonymous

18:15 Uhr, 25.05.2013

Du bist mir eine fantastische Hilfe!!!!!!

Ich hab noch ein paar verständnis Fragen:
-Zu Beginn sagtest du sei nichts im Körper... ist verständlich!
Die Gleichung

m (0) = 20 - 20 \cdot e^{- 0,05 \cdot x} = 0

müsste sie nicht

m (0) = 20 - 20 \cdot e^{- 0,05 \cdot 0} = 0

lauten? wenn du für

t = 0

sagst, dann muss

t

auch im Exponenten 0 sein, oder?
-warum ist der Wachstum beschränkt (exponentiell)?
-Was genau ist der Grenzwert?
-Und Schranke ist mir ebenfalls fremd.
-In der Gleichung:

M (t) = S - (S - M (0)) \cdot e^{- k \cdot t}

verstehe ich den mittleren Teil nicht:

(S - M (0))

anonymous

19:16 Uhr, 25.05.2013

Ja, ich habe da zwischenzeitlich noch kurz etwas editiert.

Natürlich muss da bei

m (0)

für

t

der Wert 0 eingesetzt werden, da hatte ich mich vertippt.

Warum das (exponentielle) Wachstum beschränkt ist:

Du solltest gelernt haben das die Exponentialfunktion

x \mapsto e^{x}

für reelle Werte

x

nur positive Funktionswerte annimmt.

Also gilt für alle

t \in ℝ :

e^{- 0,05 \cdot t} > 0

\Rightarrow - 20 \cdot e^{- 0,05 \cdot t} < 0

\Rightarrow m (t) = 20 - 20 \cdot e^{- 0,05 \cdot t} < 20

Somit ist

20

eine obere Schranke von

m (t)

.

Definition:
Ein Wert

S

heißt obere Schranke einer Funktion, wenn alle Funktionswerte kleiner oder gleich

S

sind.

Was der Grenzwert ist:

Die genaue Definition des Grenzwertes erspare ich dir jetzt.
Es sollte folgende Erklärung reichen:

Wenn

t

sich einem Wert

t_{0}

nähert so ist der Wert dem sich

m (t)

nähert der Grenzwert von

m (t)

bei

t \to t_{0}

. (Wenn sich

m (t)

nicht einem bestimmten Wert nähert existiert der Grenzwert nicht.)

Wenn

m (t)

sich nun für immer größer werdende

t

einem Wert nähert, so ist das der Grenzwert für

t \to \infty

. Der Grenzwert

t \to \infty

wird auch manchmal "der Grenzwert" genannt.

Bei der von dir verlinkten Aufgabe ist in

d)

ja auch so ein Grenzwert gefragt.

Bei dem Beispiel hier gilt nun:

lim_{t \to \infty} m (t) = lim_{t \to \infty} (20 - 20 \cdot e^{- 0,05 \cdot t}) = 20 - 20 \cdot 0 = 20

Denn

e^{- 0,05 \cdot t}

nähert sich für große

t

dem Wert 0.

Da beim (nach oben) beschränkten (exponentiellen) Wachstum, die Funktion eine obere Schranke besitzt und die Funktion streng monoton wachsend ist, weiß man übrigens, dass der Grenzwert bei

t \to \infty

existieren muss und gleich der kleinsten oberen Schranke ist.

Zum Term

S - M (0) :

Allgemein hat die Funktionsgleichung beim beschränkten (exponentiellen) die Form

M (t) = S - A \cdot e^{- k \cdot t}

Nun will man A durch

S

und

M (0)

ausdrücken.
(Denn

S

ist der Grenzwert bei

t \to \infty

und eine Schranke und

M (0)

ist der Anfangswert bei

t = 0

. Diese Werte haben normalerweise eher eine Bedeutung im Bezug zur Realität als

A .)

Es gilt wohl (Einsetzen!):

M (0) = S - A \cdot e^{- k \cdot 0} = S - A \cdot e^{0} = S - A \cdot 1 = S - A

Daher folgt:

A = S - M (0)

Aber die von mir genannte allgemeine Form ist jetzt für die Aufgabe eigentlich auch gar nicht so wichtig. Ich dachte sie hilft ein wenig für das Verständnis des beschränkten (exponentiellen) Wachstums, hat jedoch wohl eher Verwirrung gestiftet.

anonymous

18:53 Uhr, 26.05.2013

Danke für die Antwort!!! Hilft mir alles sehr weiter, sehe die Frage als beantwortet!!
:-)
Etwas bleibt für mich unklar, wenn ich die 1.Ableitung zeichne, wieso fängt sie bei 1 an? Wäre super, wenn du dich dazu vielleicht noch äußern könntest. Hat das eine spezifische Bedeutung?

anonymous

19:21 Uhr, 26.05.2013

Warum?
Einfache Antwort:
Weil die Ableitung von

m (t)

nach

t

an der Stelle

t = 0

gleich 1 ist.

m (t) = 20 - 20 \cdot e^{- 0,05 \cdot t}

m' (t) = 0 - 20 \cdot e^{- 0,05 \cdot t} \cdot (- 0,05) = e^{- 0,05 \cdot t}

m' (0) = e^{- 0,05 \cdot 0} = e^{0} = 1

Das hat jetzt keine besondere Bedeutung. Denn allgemein, muss das keine 1 sein:

M (t) = S - A \cdot e^{- k \cdot t}

M' (t) = 0 - A \cdot e^{- k \cdot t} \cdot (- k) = A \cdot k \cdot e^{- k \cdot t}

M' (0) = A \cdot k \cdot e^{- k \cdot 0} = A \cdot k \cdot e^{0} = A \cdot k \cdot 1 = A \cdot k

Im Zusammenhang interpretiert bedeutet das, das die Geschwindigkeit mit der das Medikament in den Körper gelangt zu Beginn

(t = 0)

gleich 1 ist. Im Allgemeinen wären jedoch auch andere Geschwindigkeiten denkbar.

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